Номер 98, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 98, страница 325.

Условие.

98. a) Для каких значений a один из корней уравнения $ (a - 2) x^2 - 2 (a + 3) x + 4a = 0 $ больше 3, а другой меньше 2?

б) Найдите все значения a, при которых оба корня уравнения $ (2a + 3) x^2 + (a + 1) x + 4 = 0 $ принадлежат отрезку $ [-2; 0] $.

Решение 5.

а)

Пусть $f(x) = (a - 2) x^2 - 2 (a + 3) x + 4a$. Условие, что один корень уравнения $f(x)=0$ больше 3, а другой меньше 2 ($x_1 < 2 < 3 < x_2$), означает, что числа 2 и 3 находятся между корнями.

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю. $a - 2 = 0 \implies a = 2$. Уравнение принимает вид: $-2(2 + 3)x + 4(2) = 0$, то есть $-10x + 8 = 0$. Отсюда $x = 0.8$. Уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию о двух корнях. Следовательно, $a=2$ не является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 2$ и уравнение является квадратным. Графиком функции $y=f(x)$ является парабола. Для того, чтобы число $k$ находилось между корнями квадратного трехчлена $Ax^2+Bx+C$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $A \cdot f(k) < 0$. Это условие гарантирует, что ветви параболы и значение функции в точке $k$ направлены в разные стороны от оси абсцисс, а значит, парабола пересекает ось по обе стороны от $k$. Это также автоматически обеспечивает наличие двух различных действительных корней (дискриминант $D>0$).

В нашей задаче числа 2 и 3 должны находиться между корнями, поэтому должны выполняться два условия одновременно:

1. $(a - 2) \cdot f(2) < 0$
2. $(a - 2) \cdot f(3) < 0$

Вычислим значения $f(2)$ и $f(3)$: $f(2) = (a - 2) \cdot 2^2 - 2(a + 3) \cdot 2 + 4a = 4(a - 2) - 4(a + 3) + 4a = 4a - 8 - 4a - 12 + 4a = 4a - 20 = 4(a - 5)$.
$f(3) = (a - 2) \cdot 3^2 - 2(a + 3) \cdot 3 + 4a = 9(a - 2) - 6(a + 3) + 4a = 9a - 18 - 6a - 18 + 4a = 7a - 36$.

Подставим эти выражения в систему неравенств:

1. $(a - 2) \cdot 4(a - 5) < 0 \implies (a - 2)(a - 5) < 0$
2. $(a - 2)(7a - 36) < 0$

Решим первое неравенство методом интервалов. Корни: $a=2$ и $a=5$. Неравенство выполняется между корнями: $a \in (2, 5)$.

Решим второе неравенство. Корни: $a=2$ и $a=36/7$. Неравенство выполняется между корнями: $a \in (2, 36/7)$.

Найдем пересечение полученных решений: $a \in (2, 5) \cap (2, 36/7)$. Так как $5 = 35/7$, то $5 < 36/7$. Следовательно, интервал $(2, 5)$ полностью содержится в интервале $(2, 36/7)$. Пересечением является интервал $(2, 5)$.

Ответ: $a \in (2, 5)$

б)

Пусть $f(x) = (2a + 3) x^2 + (a + 1) x + 4$. Нам нужно найти все значения $a$, при которых оба корня уравнения $f(x)=0$ (включая случай совпадения корней) принадлежат отрезку $[-2; 0]$.

Рассмотрим случай, когда уравнение не является квадратным: $2a + 3 = 0 \implies a = -3/2$. Уравнение становится линейным: $(-3/2 + 1)x + 4 = 0 \implies -1/2 x + 4 = 0 \implies x = 8$. Корень $x=8$ не принадлежит отрезку $[-2; 0]$. Значит, $a = -3/2$ не является решением.

Теперь рассмотрим $a \neq -3/2$. Уравнение является квадратным. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена $f(x)$ с коэффициентом $A = 2a+3$ при $x^2$ находились на отрезке $[m, k]$, должны выполняться следующие условия:

1. Дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.
2. Вершина параболы $x_v$ должна лежать на отрезке: $m \le x_v \le k$.
3. Значения функции на концах отрезка должны иметь тот же знак, что и коэффициент $A$ (или быть равны нулю): $A \cdot f(m) \ge 0$ и $A \cdot f(k) \ge 0$.

В нашем случае $m=-2$, $k=0$.

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака $A=2a+3$.

Случай 1: $A = 2a + 3 > 0 \implies a > -3/2$. Ветви параболы направлены вверх.

1. $D = (a+1)^2 - 4(2a+3)(4) = a^2 + 2a + 1 - 32a - 48 = a^2 - 30a - 47 \ge 0$.
   Корни уравнения $a^2 - 30a - 47 = 0$: $a = \frac{30 \pm \sqrt{900+188}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{1088}}{2} = 15 \pm 4\sqrt{17}$. Неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 15 - 4\sqrt{17}] \cup [15 + 4\sqrt{17}, +\infty)$.
2. Вершина $x_v = -\frac{a+1}{2(2a+3)}$. Условие: $-2 \le x_v \le 0$.
   $-2 \le -\frac{a+1}{2(2a+3)} \le 0$. Так как $2a+3 > 0$, умножим на $-2(2a+3)$, меняя знаки неравенства:
   $0 \le a+1 \le 4(2a+3) \implies 0 \le a+1 \le 8a+12$.
   Из $0 \le a+1$ следует $a \ge -1$.
   Из $a+1 \le 8a+12$ следует $-11 \le 7a \implies a \ge -11/7$. Пересечение этих условий: $a \ge -1$.
3. Условия на концах отрезка: $f(-2) \ge 0$ и $f(0) \ge 0$.
   $f(0) = 4$. Неравенство $4 \ge 0$ выполняется всегда.
   $f(-2) = (2a+3)(-2)^2 + (a+1)(-2) + 4 = 4(2a+3) - 2(a+1) + 4 = 8a+12 - 2a-2 + 4 = 6a+14$. Неравенство $6a+14 \ge 0 \implies a \ge -7/3$.

Соберем все условия для случая $a > -3/2$:
1) $a \in (-\infty, 15 - 4\sqrt{17}] \cup [15 + 4\sqrt{17}, +\infty)$
2) $a \ge -1$
3) $a \ge -7/3$
4) $a > -3/2$ (исходное предположение)
Пересечением условий 2, 3 и 4 является $a \ge -1$. Теперь найдем пересечение $a \ge -1$ с условием на дискриминант. Оценим $15 - 4\sqrt{17}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $16 < 4\sqrt{17} < 20$, и $15 - 4\sqrt{17}$ является отрицательным числом (примерно -1.49). В частности, $15 - 4\sqrt{17} < -1$. Следовательно, интервал $(-\infty, 15 - 4\sqrt{17}]$ не имеет пересечения с $a \ge -1$. Остается найти пересечение $a \ge -1$ и $a \ge 15 + 4\sqrt{17}$. Это пересечение есть $a \ge 15 + 4\sqrt{17}$.

Случай 2: $A = 2a + 3 < 0 \implies a < -3/2$. Ветви параболы направлены вниз.
В этом случае условия на концах отрезка меняют знак: $f(-2) \le 0$ и $f(0) \le 0$. Рассмотрим условие $f(0) \le 0$. Мы уже вычислили, что $f(0)=4$. Неравенство $4 \le 0$ является ложным. Следовательно, в случае $a < -3/2$ решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $a \in [15 + 4\sqrt{17}, +\infty)$