Номер 97, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 97, страница 325.

Условие.

97. Найдите значения a, при которых данное уравнение имеет решение. Найдите знаки корней:

a) $x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0;$

б) $(a - 3)x^2 - 2(3a - 4)x + 7a - 6 = 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным при любом значении параметра a, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Уравнение имеет решение, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант. Удобнее использовать "укороченный" дискриминант $D_1$ (или $D/4$) для четного второго коэффициента:

$D_1 = (-(a-1))^2 - 1 \cdot (2a+1) = (a-1)^2 - (2a+1) = a^2 - 2a + 1 - 2a - 1 = a^2 - 4a$

Решим неравенство $D_1 \ge 0$:

$a^2 - 4a \ge 0$

$a(a - 4) \ge 0$

Это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$. При этих значениях a уравнение имеет решение.

Для определения знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2(a-1)$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2a+1$

Проанализируем знаки суммы и произведения корней в найденных интервалах для a.

1. Если $a \in [4, +\infty)$:

$x_1 + x_2 = 2(a-1)$. Так как $a \ge 4$, то $a-1 \ge 3$, следовательно, $x_1 + x_2 > 0$.

$x_1 \cdot x_2 = 2a+1$. Так как $a \ge 4$, то $2a+1 \ge 9$, следовательно, $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Так как сумма и произведение корней положительны, оба корня положительны ($x_1 > 0, x_2 > 0$). При $a=4$ дискриминант равен нулю, и уравнение имеет один (двойной) положительный корень.

2. Если $a \in (-\infty, 0]$:

Разобьем этот интервал точкой $a = -1/2$, в которой произведение корней меняет знак ($2a+1=0$).

а) При $a \in (-1/2, 0]$:

$x_1 + x_2 = 2(a-1) < 0$ (так как $a \le 0$).

$x_1 \cdot x_2 = 2a+1 > 0$ (так как $a > -1/2$).

Сумма отрицательна, произведение положительно — оба корня отрицательны ($x_1 < 0, x_2 < 0$). При $a=0$ дискриминант равен нулю, и уравнение имеет один (двойной) отрицательный корень.

б) При $a = -1/2$:

$x_1 \cdot x_2 = 2(-1/2)+1 = 0$. Один из корней равен нулю. Сумма корней $x_1+x_2 = 2(-1/2 - 1) = -3 < 0$. Значит, один корень равен 0, а второй — отрицательный.

в) При $a \in (-\infty, -1/2)$:

$x_1 \cdot x_2 = 2a+1 < 0$. Произведение корней отрицательно, значит, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

Ответ: Уравнение имеет решение при $a \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$. Знаки корней:

• при $a \in (-\infty, -1/2)$ — один корень положительный, другой отрицательный;
• при $a = -1/2$ — один корень равен нулю, другой отрицательный;
• при $a \in (-1/2, 0]$ — оба корня отрицательны (при $a=0$ корни совпадают);
• при $a \in [4, +\infty)$ — оба корня положительны (при $a=4$ корни совпадают).

б) $(a - 3)x^2 - 2(3a - 4)x + 7a - 6 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 3 = 0 \implies a = 3$.

Уравнение становится линейным:

$-2(3 \cdot 3 - 4)x + 7 \cdot 3 - 6 = 0$

$-10x + 15 = 0 \implies x = 1.5$

При $a=3$ уравнение имеет один положительный корень.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, $a \neq 3$.

Уравнение является квадратным. Оно имеет решение, если его дискриминант $D \ge 0$. Вычислим $D_1 = D/4$.

$D_1 = (-(3a-4))^2 - (a-3)(7a-6) = (9a^2-24a+16) - (7a^2-27a+18) = 2a^2+3a-2$

Решим неравенство $D_1 \ge 0$:

$2a^2+3a-2 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2+3a-2=0$. $a_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$a_1 = -2, a_2 = 1/2$.

Неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -2] \cup [1/2, +\infty)$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет решение при $a \in (-\infty, -2] \cup [1/2, +\infty)$.

Для определения знаков корней (при $a \neq 3$) воспользуемся теоремой Виета.

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{2(3a-4)}{a-3}$

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{7a-6}{a-3}$

Проанализируем знаки суммы $S$ и произведения $P$ на интервалах, где есть решения.

1. При $a \in (-\infty, -2] \cup [1/2, 6/7)$:

$S = \frac{2(3a-4)}{a-3} > 0$ (частное двух отрицательных чисел).

$P = \frac{7a-6}{a-3} > 0$ (частное двух отрицательных чисел).

Так как $S>0$ и $P>0$, оба корня положительны. При $a=-2$ и $a=1/2$ корни совпадают.

2. При $a = 6/7$:

$P = \frac{7(6/7)-6}{6/7-3} = 0$. Один корень равен 0.

$S = \frac{2(3(6/7)-4)}{6/7-3} > 0$. Второй корень положительный.

3. При $a \in (6/7, 3)$:

$P = \frac{7a-6}{a-3} < 0$ (числитель положительный, знаменатель отрицательный). Корни имеют разные знаки.

4. При $a \in (3, +\infty)$:

$S > 0$ и $P > 0$ (числитель и знаменатель в обеих дробях положительны). Оба корня положительны.

Ответ: Уравнение имеет решение при $a \in (-\infty, -2] \cup [1/2, +\infty)$. Знаки корней:

• при $a \in (-\infty, -2] \cup [1/2, 6/7) \cup [3, +\infty)$ — корни положительны (при $a=3$ один корень; при $a=-2$ и $a=1/2$ два совпадающих корня);
• при $a = 6/7$ — один корень равен нулю, другой положительный;
• при $a \in (6/7, 3)$ — один корень положительный, другой отрицательный.