Номер 93, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 93, страница 324.

Условие.

93. a) $|x| < 1, |y| < 1;$

б) $|x-3| \le 1, |y-4| \le 1;$

в) $|y| > |x+1|;$

г) $|x+y| + |x-y| \ge 2.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система из двух неравенств: $|x| < 1$ и $|y| < 1$.

Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Геометрически на координатной плоскости это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Сами прямые не являются частью решения, так как неравенство строгое.

Аналогично, неравенство $|y| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < y < 1$. Это множество точек, расположенных в горизонтальной полосе между прямыми $y = -1$ и $y = 1$, не включая сами прямые.

Решением системы является пересечение этих двух областей. В результате получается область, ограниченная этими четырьмя прямыми.

Ответ: Множество точек, являющееся внутренностью квадрата с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Границы квадрата в решение не входят.

б)

Дана система из двух неравенств: $|x-3| \le 1$ и $|y-4| \le 1$.

Неравенство $|x-3| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x-3 \le 1$. Прибавив 3 ко всем частям, получаем $2 \le x \le 4$. Это вертикальная полоса на координатной плоскости, ограниченная прямыми $x=2$ и $x=4$, включая сами прямые.

Неравенство $|y-4| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le y-4 \le 1$. Прибавив 4 ко всем частям, получаем $3 \le y \le 5$. Это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=3$ и $y=5$, включая сами прямые.

Решением системы является пересечение этих двух замкнутых полос.

Ответ: Множество точек, являющееся квадратом с вершинами в точках $(2, 3)$, $(4, 3)$, $(4, 5)$ и $(2, 5)$. Границы квадрата включены в решение.

в)

Дано неравенство $|y| > |x+1|$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$y^2 > (x+1)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$y^2 - (x+1)^2 > 0$

$(y - (x+1))(y + (x+1)) > 0$

$(y - x - 1)(y + x + 1) > 0$

Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая.

1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} y - x - 1 > 0 \\ y + x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > x + 1 \\ y > -x - 1 \end{cases}$
Это область плоскости, расположенная одновременно выше прямой $y = x+1$ и выше прямой $y = -x-1$.

2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} y - x - 1 < 0 \\ y + x + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y < x + 1 \\ y < -x - 1 \end{cases}$
Это область плоскости, расположенная одновременно ниже прямой $y = x+1$ и ниже прямой $y = -x-1$.

Прямые $y = x+1$ и $y = -x-1$ являются границами искомой области, но сами в нее не входят, так как неравенство строгое.

Ответ: Множество точек плоскости, лежащих выше обеих прямых $y = x+1$ и $y = -x-1$, а также множество точек, лежащих ниже обеих этих прямых. Границы областей (сами прямые) не включаются.

г)

Дано неравенство $|x+y| + |x-y| \ge 2$.

Для решения этого неравенства раскроем модули. Знаки выражений под модулями меняются на прямых $x+y=0$ (т.е. $y=-x$) и $x-y=0$ (т.е. $y=x$). Эти прямые делят плоскость на четыре области.

1. Если $x+y \ge 0$ и $x-y \ge 0$ (область, где $y \ge -x$ и $y \le x$), неравенство становится: $(x+y) + (x-y) \ge 2 \Rightarrow 2x \ge 2 \Rightarrow x \ge 1$.

2. Если $x+y \ge 0$ и $x-y < 0$ (область, где $y \ge -x$ и $y > x$), неравенство становится: $(x+y) - (x-y) \ge 2 \Rightarrow 2y \ge 2 \Rightarrow y \ge 1$.

3. Если $x+y < 0$ и $x-y < 0$ (область, где $y < -x$ и $y > x$), неравенство становится: $-(x+y) - (x-y) \ge 2 \Rightarrow -2x \ge 2 \Rightarrow x \le -1$.

4. Если $x+y < 0$ и $x-y \ge 0$ (область, где $y < -x$ и $y \le x$), неравенство становится: $-(x+y) + (x-y) \ge 2 \Rightarrow -2y \ge 2 \Rightarrow y \le -1$.

Границей области решения является фигура, заданная уравнением $|x+y| + |x-y| = 2$. Из анализа по областям следует, что эта граница состоит из отрезков прямых $x=1, y=1, x=-1, y=-1$. Вместе эти отрезки образуют квадрат с вершинами в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

Чтобы определить, какая часть плоскости является решением (внутри или снаружи квадрата), возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$: $|0+0| + |0-0| = 0$. Так как $0 < 2$, точка $(0,0)$ не удовлетворяет неравенству. Следовательно, решением является область вне квадрата, включая его границу.

Ответ: Множество точек плоскости, лежащих на границе или вне квадрата с вершинами в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.