Номер 88, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 88, страница 324.

Условие.

88. a) $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$;

б) $y = \sqrt{\log_{2000} \cos^{2000} x}$;

в) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \sin x$;

г) $y = \{\cos x\}$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$
Для того чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства следует, что $x \le 0$. Единственным числом, которое одновременно удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 0$, является $x=0$.
Таким образом, область определения функции состоит из одной точки.
Ответ: $D(y) = \{0\}$.

б) $y = \sqrt{\log_{2000} \cos^{2000} x}$
Область определения функции задается системой условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{2000} \cos^{2000} x \ge 0$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\cos^{2000} x > 0$.
Рассмотрим первое неравенство. Так как основание логарифма $2000 > 1$, неравенство $\log_{2000} \cos^{2000} x \ge 0$ равносильно неравенству $\cos^{2000} x \ge 1$.
Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку показатель степени $2000$ является четным числом, то $0 \le \cos^{2000} x \le 1$ для любого $x$.
Совмещая условия $\cos^{2000} x \ge 1$ и $\cos^{2000} x \le 1$, получаем единственное возможное равенство: $\cos^{2000} x = 1$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

• $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два множества решений, получаем $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$ выполняется равенство $\cos^{2000} x = 1$, что удовлетворяет и второму условию $\cos^{2000} x > 0$.
Следовательно, область определения функции — это множество всех точек вида $\pi k$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2} \sin x$
Данная функция представляет собой произведение двух функций. Функция $\sin x$ определена для всех действительных чисел. Функция $\operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ определена для всех $x$, при которых знаменатель в выражении $\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}$ не равен нулю.
Таким образом, должно выполняться условие $\sin\frac{x}{2} \neq 0$.
Решая уравнение $\sin\frac{x}{2} = 0$, получаем: $$ \frac{x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Хотя функцию можно упростить: $$ y = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot (2\sin(x/2)\cos(x/2)) = 2\cos^2(x/2) = 1 + \cos x $$ это преобразование справедливо только в области определения исходной функции, то есть при $x \neq 2\pi n$. Точки $x = 2\pi n$ являются точками устранимого разрыва.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

г) $y = \{\cos x\}$
Фигурные скобки $\{a\}$ обозначают дробную часть числа $a$, которая определяется как $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$, где $\lfloor a \rfloor$ — целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее $a$).
Функция "дробная часть" $f(z) = \{z\}$ определена для всех действительных чисел $z$.
Внутренняя функция $g(x) = \cos x$ также определена для всех действительных чисел $x$. Её область значений — отрезок $[-1, 1]$.
Данная функция $y(x)$ является композицией функций $f(g(x))$. Поскольку внутренняя функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, а её область значений $[-1, 1]$ полностью содержится в области определения внешней функции (дробной части), то и композиция определена для всех действительных $x$.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R}$.