Номер 89, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 89, страница 324.

Условие.

89. a) $y = \sin (\arcsin x)$;

б) $y = \arcsin (\sin x)$;

в) $y = \cos (2 \arccos x)$;

г) $y = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} x)$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Функция $y = \sin(\arcsin x)$ определена по определению арксинуса.
Арксинус числа $x$ ($\arcsin x$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$.
Следовательно, область определения для $y = \sin(\arcsin x)$ также $x \in [-1, 1]$.
По определению обратной функции, синус угла, синус которого равен $x$, есть сам $x$.
Таким образом, $y = x$.
Функция представляет собой отрезок прямой $y=x$ на области определения $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $y = x$, где $x \in [-1, 1]$.

б) Функция $y = \arcsin(\sin x)$.
Область определения: функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Функция $\arcsin(z)$ определена для $z \in [-1, 1]$. Таким образом, композиция функций определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Область значений: по определению, арксинус возвращает значение в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Функция является периодической с периодом $2\pi$, так как $\arcsin(\sin(x+2\pi)) = \arcsin(\sin x)$.
Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:
1. Если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin x) = x$.
2. Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то $\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используя тождество $\sin x = \sin(\pi - x)$, получаем $\arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.
График этой функции — периодическая "пилообразная" волна.

Ответ: Это периодическая функция с периодом $2\pi$, определенная для всех $x \in \mathbb{R}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ она задается формулой: $y = \begin{cases} x, & x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \pi - x, & x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \end{cases}$.

в) Функция $y = \cos(2 \arccos x)$.
Область определения: функция $\arccos x$ определена для $x \in [-1, 1]$. Это и есть область определения исходной функции.
Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению, $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Тогда выражение принимает вид $y = \cos(2\alpha)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Подставляем обратно $\cos \alpha = x$:
$y = 2(\cos(\arccos x))^2 - 1 = 2x^2 - 1$.
Таким образом, функция является частью параболы $y = 2x^2 - 1$ на отрезке $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $y = 2x^2 - 1$, где $x \in [-1, 1]$.

г) Функция $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$.
Область определения: функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения исходной функции.
Область значений: по определению, арктангенс возвращает значение в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Функция является периодической с периодом $\pi$, так как $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg} x$.
Рассмотрим поведение функции на интервале, сдвинутом на $k\pi$.
Если $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, то $x - k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя тождество $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x-k\pi)$, получаем:
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi)) = x - k\pi$.
График этой функции — набор отрезков прямых с наклоном 1.

Ответ: Это периодическая функция с периодом $\pi$, которая определяется выражением $y = x - k\pi$ для $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k$ — любое целое число. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.