Номер 89, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 89, страница 324.
№89 (с. 324)
Условие. №89 (с. 324)
скриншот условия

89. a) $y = \sin (\arcsin x)$;
б) $y = \arcsin (\sin x)$;
в) $y = \cos (2 \arccos x)$;
г) $y = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} x)$.
Решение 3. №89 (с. 324)

Решение 5. №89 (с. 324)
а) Функция $y = \sin(\arcsin x)$ определена по определению арксинуса.
Арксинус числа $x$ ($\arcsin x$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$.
Следовательно, область определения для $y = \sin(\arcsin x)$ также $x \in [-1, 1]$.
По определению обратной функции, синус угла, синус которого равен $x$, есть сам $x$.
Таким образом, $y = x$.
Функция представляет собой отрезок прямой $y=x$ на области определения $x \in [-1, 1]$.
Ответ: $y = x$, где $x \in [-1, 1]$.
б) Функция $y = \arcsin(\sin x)$.
Область определения: функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Функция $\arcsin(z)$ определена для $z \in [-1, 1]$. Таким образом, композиция функций определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Область значений: по определению, арксинус возвращает значение в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Функция является периодической с периодом $2\pi$, так как $\arcsin(\sin(x+2\pi)) = \arcsin(\sin x)$.
Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:
1. Если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin x) = x$.
2. Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то $\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используя тождество $\sin x = \sin(\pi - x)$, получаем $\arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.
График этой функции — периодическая "пилообразная" волна.
Ответ: Это периодическая функция с периодом $2\pi$, определенная для всех $x \in \mathbb{R}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ она задается формулой: $y = \begin{cases} x, & x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \pi - x, & x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \end{cases}$.
в) Функция $y = \cos(2 \arccos x)$.
Область определения: функция $\arccos x$ определена для $x \in [-1, 1]$. Это и есть область определения исходной функции.
Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению, $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Тогда выражение принимает вид $y = \cos(2\alpha)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Подставляем обратно $\cos \alpha = x$:
$y = 2(\cos(\arccos x))^2 - 1 = 2x^2 - 1$.
Таким образом, функция является частью параболы $y = 2x^2 - 1$ на отрезке $x \in [-1, 1]$.
Ответ: $y = 2x^2 - 1$, где $x \in [-1, 1]$.
г) Функция $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$.
Область определения: функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения исходной функции.
Область значений: по определению, арктангенс возвращает значение в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Функция является периодической с периодом $\pi$, так как $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg} x$.
Рассмотрим поведение функции на интервале, сдвинутом на $k\pi$.
Если $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, то $x - k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя тождество $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x-k\pi)$, получаем:
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi)) = x - k\pi$.
График этой функции — набор отрезков прямых с наклоном 1.
Ответ: Это периодическая функция с периодом $\pi$, которая определяется выражением $y = x - k\pi$ для $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k$ — любое целое число. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 89 расположенного на странице 324 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №89 (с. 324), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.