Номер 87, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 87, страница 324.

Условие.

87. а) $y=\sqrt{[x]}$;

б) $y=\sqrt{\{x\}}$;

в) $y=\{x\}^2$;

г) $y=\{x^2\}$;

д) $y=\frac{\{x\}}{[x]}$.

Решение 5.

а)Функция $y = \sqrt{[x]}$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$ (функция "пол" или "floor"), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Область определения:Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $[x] \ge 0$. Поскольку $[x]$ является целым числом, это означает, что $[x]$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$. Это условие выполняется для всех $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.
Анализ и построение графика:Функция является кусочно-постоянной (ступенчатой), так как значение $[x]$ меняется только в целых точках $x$.

• На промежутке $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, следовательно, $y = \sqrt{0} = 0$.
• На промежутке $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, следовательно, $y = \sqrt{1} = 1$.
• На промежутке $x \in [2, 3)$, $[x] = 2$, следовательно, $y = \sqrt{2} \approx 1.414$.
• На промежутке $x \in [3, 4)$, $[x] = 3$, следовательно, $y = \sqrt{3} \approx 1.732$.
• На промежутке $x \in [4, 5)$, $[x] = 4$, следовательно, $y = \sqrt{4} = 2$.

В общем виде, для любого целого неотрицательного $k$, на промежутке $x \in [k, k+1)$ значение функции постоянно и равно $y=\sqrt{k}$. График функции состоит из горизонтальных отрезков.
Ответ: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$. График функции — это совокупность горизонтальных отрезков $[k, k+1)$ на высоте $y=\sqrt{k}$ для каждого целого $k \ge 0$.

б)Функция $y = \sqrt{\{x\}}$. Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, определяемая как $\{x\} = x - [x]$.
Область определения:По определению, дробная часть числа $\{x\}$ всегда удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$. Так как подкоренное выражение всегда неотрицательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция $y = \sqrt{\{x\}}$ является периодической с периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = \{x\}$. Поэтому достаточно проанализировать ее поведение на одном периоде, например, на промежутке $[0, 1)$.
На промежутке $x \in [0, 1)$, $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$.
График на всей числовой оси будет состоять из бесконечного повторения этого фрагмента. Для любого целого $k$, на промежутке $[k, k+1)$, график функции будет выглядеть так же, как график $y=\sqrt{x}$ на $[0, 1)$, но сдвинутый на $k$ вправо. В каждой целой точке $x=k$, $\{k\}=0$, поэтому $y=0$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция периодическая с периодом 1. График состоит из повторяющихся на каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - целое) фрагментов кривой $y=\sqrt{x-k}$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

в)Функция $y = \{x\}^2$.
Область определения:Дробная часть числа $\{x\}$ определена для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция $y = \{x\}^2$ является периодической с периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = \{x\}$. Рассмотрим ее поведение на промежутке $[0, 1)$.
На промежутке $x \in [0, 1)$, $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = x^2$.
График на всей числовой оси будет состоять из повторений этого фрагмента параболы. На каждом промежутке $[k, k+1)$ для целого $k$, график будет выглядеть как график $y=(x-k)^2$. В целых точках $x=k$, $y=\{k\}^2=0^2=0$. При $x$, стремящемся к $k+1$ слева, $\{x\}$ стремится к 1, и $y$ стремится к $1^2=1$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция периодическая с периодом 1. График состоит из повторяющихся на каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - целое) фрагментов параболы $y=(x-k)^2$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

г)Функция $y = \{x^2\}$.
Область определения:Функция $x^2$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, и дробная часть также определена для любого действительного аргумента. Таким образом, область определения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция является четной, так как $y(-x) = \{(-x)^2\} = \{x^2\} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Рассмотрим поведение функции для $x \ge 0$.
По определению, $y = x^2 - [x^2]$. Значение $[x^2]$ меняется скачкообразно, когда $x^2$ проходит через целое значение.Пусть $[x^2]=k$, где $k$ - целое неотрицательное число. Это эквивалентно $k \le x^2 < k+1$. Для $x \ge 0$ это означает $\sqrt{k} \le x < \sqrt{k+1}$.
На каждом таком промежутке $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ функция имеет вид $y = x^2 - k$. Это график параболы $y=x^2$, сдвинутый вниз на $k$ единиц.

• При $x \in [0, 1)$, $k=0$, $y=x^2$.
• При $x \in [1, \sqrt{2})$, $k=1$, $y=x^2-1$.
• При $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $k=2$, $y=x^2-2$.

График для $x \ge 0$ состоит из "лоскутков" парабол. Каждый такой "лоскуток" на промежутке $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ начинается в точке $(\sqrt{k}, 0)$ и заканчивается в точке, к которой график стремится, $(\sqrt{k+1}, 1)$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция четная. График состоит из частей парабол $y=x^2-k$ на промежутках $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ для $x \ge 0$ (и симметричных для $x < 0$), где $k=0, 1, 2, ...$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

д)Функция $y = \frac{\{x\}}{[x]}$.
Область определения:Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $[x] \neq 0$. Условие $[x]=0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $[0, 1)$. Следовательно, этот промежуток должен быть исключен.Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.
Анализ и построение графика:Рассмотрим поведение функции на промежутках вида $[k, k+1)$, где $k$ — целое число из области определения. На таком промежутке $[x]=k$ (константа) и $\{x\}=x-k$.Функция принимает вид $y = \frac{x-k}{k} = \frac{x}{k} - 1$. На каждом таком интервале это линейная функция.
Случай 1: $x \ge 1$ (целые $k \ge 1$).На промежутке $[k, k+1)$, $y$ изменяется от $y(k) = \frac{k-k}{k} = 0$ до значения, к которому $y$ стремится при $x \to (k+1)^-$, то есть $\frac{(k+1)-k}{k} = \frac{1}{k}$.

• На $[1, 2)$, $y = x-1$. График — отрезок от $(1, 0)$ до $(2, 1)$ (точка $(2,1)$ выколота).
• На $[2, 3)$, $y = \frac{x-2}{2}$. График — отрезок от $(2, 0)$ до $(3, 1/2)$ (точка $(3, 1/2)$ выколота).
• На $[k, k+1)$, график — отрезок от $(k, 0)$ до $(k+1, 1/k)$ (правая точка выколота).

Случай 2: $x < 0$ (целые $k \le -1$).На промежутке $[k, k+1)$, $y$ также изменяется от $y(k) = \frac{k-k}{k} = 0$ до $\frac{(k+1)-k}{k} = \frac{1}{k}$.

• На $[-1, 0)$, $k=-1$. $y = \frac{x-(-1)}{-1} = -x-1$. График — отрезок от $(-1, 0)$ до $(0, -1)$ (точка $(0, -1)$ выколота).
• На $[-2, -1)$, $k=-2$. $y = \frac{x-(-2)}{-2} = -\frac{x}{2}-1$. График — отрезок от $(-2, 0)$ до $(-1, -1/2)$ (точка $(-1, -1/2)$ выколота).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$. График функции представляет собой совокупность отрезков прямых. На каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - ненулевое целое число) это отрезок прямой $y=\frac{x-k}{k}$, соединяющий точку $(k, 0)$ и выколотую точку $(k+1, 1/k)$. Область значений $E(y) = (-1, 1)$.