Номер 83, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 83, страница 323.

Условие.

83. Найдите асимптоты графика функции:

a) $y = \frac{x}{x-2}$;

б) $y = \frac{x^2+1}{x}$;

в) $y = \frac{x^2}{|x|+1}$;

г) $y = \frac{x^2+4}{x^2-9}$.

Решение 3.

Решение 5.

Асимптота — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

а) $y = \frac{x}{x-2}$

1. Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. В данном случае это точка, где знаменатель обращается в ноль: $x-2 = 0$, то есть $x=2$.

Найдем односторонние пределы функции при $x \to 2$:
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x-2} = \frac{2}{2-0} = \frac{2}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x}{x-2} = \frac{2}{2+0} = \frac{2}{+0} = +\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальные асимптоты.

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x/x}{(x-2)/x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - 2/x} = \frac{1}{1-0} = 1$

Поскольку предел конечен и равен 1, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Так как существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$.

б) $y = \frac{x^2 + 1}{x}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель обращается в ноль при $x=0$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому ищем наклонную асимптоту вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x \cdot x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2+1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1-x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$

Таким образом, прямая $y=1x+0$, то есть $y=x$, является наклонной асимптотой.

Горизонтальных асимптот нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$.

в) $y = \frac{x^2}{|x| + 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель $|x|+1$ всегда положителен ($|x| \ge 0 \Rightarrow |x|+1 \ge 1$) и никогда не равен нулю. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоты вида $y=kx+b$. Из-за модуля в знаменателе рассмотрим два случая: $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

При $x \to +\infty$, $|x| = x$.

$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2/(x+1)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2+x} = 1$

$b_1 = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - k_1x) = \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^2}{x+1} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x+1} = -1$

При $x \to +\infty$ асимптота $y = x-1$.

При $x \to -\infty$, $|x| = -x$.

$k_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2/(-x+1)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{-x^2+x} = -1$

$b_2 = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - k_2x) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^2}{-x+1} - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^2}{-x+1} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x(-x+1)}{-x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x+1} = -1$

При $x \to -\infty$ асимптота $y = -x-1$.

Ответ: вертикальных асимптот нет, наклонные асимптоты $y=x-1$ (при $x \to +\infty$) и $y=-x-1$ (при $x \to -\infty$).

г) $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 9}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ равен нулю при $x=3$ и $x=-3$.

Проверим пределы в этих точках:

Для $x=3$: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2+4}{x^2-9} = \frac{13}{0} = \infty$. Значит, $x=3$ — вертикальная асимптота.

Для $x=-3$: $\lim_{x \to -3} \frac{x^2+4}{x^2-9} = \frac{13}{0} = \infty$. Значит, $x=-3$ — вертикальная асимптота.

2. Горизонтальные асимптоты.

Степени числителя и знаменателя равны (обе равны 2), поэтому ищем горизонтальную асимптоту.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+4}{x^2-9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1+4/x^2)}{x^2(1-9/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+4/x^2}{1-9/x^2} = \frac{1}{1} = 1$

Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

Ответ: вертикальные асимптоты $x=3$ и $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=1$.