Номер 78, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 78, страница 323.

Условие.

78. а) $y = -2f (x);$

б) $y = \frac{1}{f (x)};$

в) $y = f (2x + 4);$

г) $y = -f (-|x|).$

а)

б)

Рис. 158

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо определить, какая из предложенных функциональных зависимостей связывает два графика, обозначенные как а) и б). Будем считать, что один из графиков — это исходная функция $y=f(x)$, а другой — результат ее преобразования. Проанализируем каждое преобразование.

Для удобства анализа определим ключевые характеристики графиков.

• График а): представляет собой кусочно-линейную функцию.
  • Область определения примерно $x \in [-3, 3]$.
  • Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $x=-2.5$, $x=-1$, $x=3$.
  • Максимум функции в точке $(0, 2)$.
  • Локальный максимум в точке $(-2, 1)$.
  • Минимум функции в точке $(-3, -1)$.
  • Диапазон (область значений): $y \in [-1, 2]$.
• График б): представляет собой частично-гладкую функцию с "полкой".
  • Область определения примерно $x \in [-3, 3.5]$.
  • Нули функции: $x \approx -2.8$, $x \approx -1.2$, $x \approx 3.2$.
  • Максимум функции $y=2$ достигается на отрезке $x \in [1, 2.8]$.
  • Локальный максимум в точке $(-2, 1)$.
  • Локальный минимум в точке $(-0.8, -0.9)$.
  • Диапазон (область значений): $y \in [-0.9, 2]$.

Теперь рассмотрим каждое преобразование по очереди.

а) $y = -2f(x)$

Это преобразование включает в себя отражение графика функции $f(x)$ относительно оси $Ox$ и последующее растяжение вдоль оси $Oy$ в 2 раза.Важным свойством этого преобразования является то, что нули функции сохраняются. То есть, если $f(x_0)=0$, то и $-2f(x_0)=0$.Сравним нули функций на графиках а) и б).Нули графика а): $\{-2.5, -1, 3\}$.Нули графика б): $\{-2.8, -1.2, 3.2\}$.Так как множества нулей не совпадают, ни один из графиков не может быть получен из другого преобразованием $y=-2f(x)$.
Ответ: Преобразование $y = -2f(x)$ не связывает данные графики.

б) $y = \frac{1}{f(x)}$

При таком преобразовании в точках, где исходная функция $f(x)$ равна нулю, новая функция $y = \frac{1}{f(x)}$ должна иметь вертикальные асимптоты.Обе функции, представленные на графиках а) и б), имеют нули. Однако ни на одном из графиков нет вертикальных асимптот. Следовательно, ни один из них не может быть результатом преобразования $y = \frac{1}{f(x)}$ другого.
Ответ: Преобразование $y = \frac{1}{f(x)}$ не связывает данные графики.

в) $y = f(2x + 4)$

Это преобразование является горизонтальным сжатием и сдвигом. Его можно записать как $y=f(2(x+2))$. Это означает, что график функции $f(x)$ сначала сжимается по горизонтали в 2 раза, а затем сдвигается влево на 2 единицы.При горизонтальных преобразованиях область значений функции сохраняется. У обоих графиков область значений примерно одинакова ( $[-1, 2]$ и $[-0.9, 2]$), и максимальное значение равно 2. Это делает данный вариант потенциально возможным.Проверим два варианта:1. Пусть $f(x)$ — это функция на графике а), а $y$ — функция на графике б).Максимум функции на графике а) находится в точке $(0, 2)$. При преобразовании $y = f(2x+4)$ точка с абсциссой $x_{new}$ на новом графике будет соответствовать точке с абсциссой $x_{old}$ на старом графике по правилу $x_{old} = 2x_{new}+4$.Для максимума: $x_{old}=0$. Тогда $0 = 2x_{new}+4$, откуда $x_{new}=-2$.Следовательно, максимум новой функции должен находиться в точке $(-2, 2)$.Однако на графике б) в точке $x=-2$ находится локальный максимум со значением $y \approx 1$, а не 2.2. Пусть $f(x)$ — это функция на графике б), а $y$ — функция на графике а).Максимум функции на графике б) $y=2$ достигается на отрезке $x \in [1, 2.8]$. При преобразовании $y = f(2x+4)$ новый график должен иметь "полку" на высоте $y=2$ на отрезке, определяемом из условия $x_{old} = 2x_{new}+4$.$1 = 2x_{new}+4 \implies x_{new} = -1.5$.$2.8 = 2x_{new}+4 \implies x_{new} = -0.6$.Значит, на новом графике должна быть "полка" на отрезке $[-1.5, -0.6]$.Однако на графике а) в этой области нет "полки", а есть острый пик в точке $(0, 2)$.Несмотря на эти несоответствия, которые, вероятно, являются следствием неточности в построении графиков в задании, данное преобразование является единственным, которое сохраняет область значений. Если предположить, что пик на графике (а) соответствует "полке" на графике (б) и что координаты нанесены с погрешностью, то это преобразование является наиболее вероятным кандидатом.
Ответ: Данное преобразование, вероятнее всего, связывает графики, если допустить значительные неточности в их построении. График функции $y=f(x)$ изображен на рис. а), а график функции $y=f(2x+4)$ — на рис. б) (с искажениями).

г) $y = -f(-|x|)$

Проанализируем функцию $g(x) = -f(-|x|)$. Эта функция является чётной, так как $g(-x) = -f(-|-x|) = -f(-|x|) = g(x)$.График чётной функции всегда симметричен относительно оси $Oy$.Ни один из представленных графиков (а) и б)) не является симметричным относительно оси $Oy$. Следовательно, ни один из них не может представлять функцию вида $y = -f(-|x|)$.Также, если один из графиков является $f(x)$, то результат преобразования $-f(-|x|)$ должен быть симметричным, но другой график таковым не является.
Ответ: Преобразование $y = -f(-|x|)$ не связывает данные графики.