Номер 74, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 74, страница 322.

Условие.

74. Докажите, что:

а) график четной функции симметричен относительно оси ординат;

б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Решение 3.

Решение 5.

а) график четной функции симметричен относительно оси ординат

По определению, функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Чтобы доказать, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$), нужно показать, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $M'(-x_0, y_0)$, симметричная ей относительно оси ординат, также принадлежит этому графику.

Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.

Рассмотрим точку $M'(-x_0, y_0)$. Проверим, принадлежат ли ее координаты графику функции $y = f(x)$. Для этого нужно подставить ее координаты в уравнение функции и проверить, выполняется ли равенство. Мы должны показать, что $y_0 = f(-x_0)$.

Поскольку функция $f(x)$ является четной, по определению имеем $f(-x_0) = f(x_0)$.

Так как мы знаем, что $y_0 = f(x_0)$, то, заменяя $f(x_0)$ на $f(-x_0)$, получаем $y_0 = f(-x_0)$.

Это означает, что точка $M'(-x_0, y_0)$ также принадлежит графику функции. Поскольку точка $M(x_0, y_0)$ была выбрана произвольно, это справедливо для любой точки графика.

Следовательно, график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки $M(x_0, y_0)$ на графике четной функции $f(x)$ точка $M'(-x_0, y_0)$, симметричная ей относительно оси ординат, также лежит на графике, так как $y_0 = f(x_0)$ и $f(x_0) = f(-x_0)$, следовательно, $y_0 = f(-x_0)$.

б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат

По определению, функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Чтобы доказать, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0, 0)$), нужно показать, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этому графику.

Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.

Рассмотрим точку $M'(-x_0, -y_0)$. Проверим, принадлежат ли ее координаты графику функции $y = f(x)$. Для этого нужно подставить ее координаты в уравнение функции. Мы должны показать, что $-y_0 = f(-x_0)$.

Поскольку функция $f(x)$ является нечетной, по определению имеем $f(-x_0) = -f(x_0)$.

Подставим это в равенство, которое мы проверяем:

$-y_0 = -f(x_0)$

Умножив обе части равенства на $-1$, получим:

$y_0 = f(x_0)$

Это равенство является истинным, так как мы изначально предположили, что точка $M(x_0, y_0)$ лежит на графике функции. Следовательно, и равенство $-y_0 = f(-x_0)$ также истинно.

Это означает, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику функции. Поскольку точка $M(x_0, y_0)$ была выбрана произвольно, это справедливо для любой точки графика.

Следовательно, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки $M(x_0, y_0)$ на графике нечетной функции $f(x)$ точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также лежит на графике, так как из $y_0 = f(x_0)$ и $f(-x_0) = -f(x_0)$ следует, что $-y_0 = -f(x_0) = f(-x_0)$.