Номер 68, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 68, страница 321.

Условие.

68. Среди функций вида $f(x) = ax + b$ найдите все такие, что для любого $x$:

a) $f(f(x)) = f(x)$;

б) $f(f(x)) = x$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Нам дана функция $f(x) = ax + b$. Мы ищем все такие функции, для которых $f(f(x)) = f(x)$ справедливо для любого $x$.

Сначала найдем выражение для композиции функций $f(f(x))$:

$f(f(x)) = a \cdot f(x) + b = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$.

Теперь приравняем $f(f(x))$ к $f(x)$ согласно условию задачи:

$a^2x + ab + b = ax + b$.

Это равенство является тождеством, то есть оно должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях равны. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему из двух уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 = a & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ ab + b = b & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения $a^2 - a = 0$, или $a(a-1) = 0$, получаем два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=1$.

Из второго уравнения $ab + b = b$ следует, что $ab = 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $a = 0$. Тогда второе уравнение $0 \cdot b = 0$ истинно для любого действительного числа $b$. В этом случае функция имеет вид $f(x) = 0 \cdot x + b = b$. Это любая постоянная функция. Проверим: если $f(x)=c$ (где $c$ - константа), то $f(f(x))=f(c)=c$, и $f(x)=c$, так что равенство $f(f(x))=f(x)$ выполняется.

2. Пусть $a = 1$. Тогда второе уравнение $1 \cdot b = 0$ дает нам $b=0$. В этом случае функция имеет вид $f(x) = 1 \cdot x + 0 = x$. Проверим: $f(f(x))=f(x)=x$, поэтому равенство $f(f(x))=f(x)$ также выполняется.

Ответ: $f(x) = x$ и $f(x) = c$, где $c$ – любое действительное число.

б) Теперь мы ищем все функции вида $f(x) = ax + b$, для которых $f(f(x)) = x$ для любого $x$.

Мы уже знаем, что $f(f(x)) = a^2x + ab + b$. Приравниваем это выражение к $x$:

$a^2x + ab + b = x$.

Снова, это равенство должно быть тождеством. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему:

$\begin{cases} a^2 = 1 & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ ab + b = 0 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Из первого уравнения $a^2=1$ следует, что $a=1$ или $a=-1$.

Второе уравнение можно записать в виде $b(a+1) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $a=1$. Тогда второе уравнение становится $b(1+1)=0$, или $2b=0$, что означает $b=0$. Функция в этом случае $f(x) = 1 \cdot x + 0 = x$. Проверка: $f(f(x))=f(x)=x$. Условие выполняется.

2. Пусть $a=-1$. Тогда второе уравнение становится $b(-1+1)=0$, или $b \cdot 0 = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $b$. Таким образом, любая функция вида $f(x) = -x+b$ является решением. Проверим: $f(f(x))=f(-x+b) = -(-x+b)+b = x-b+b = x$. Условие выполняется.

Ответ: $f(x) = x$ и $f(x) = -x + c$, где $c$ – любое действительное число.