Номер 73, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 73, страница 322.

Условие.

73. а) $y = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

б) $y = \cos x, x \in [0; \pi];$

в) $y = \operatorname{tg} x, x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

г) $y = \operatorname{ctg} x, x \in (0; \pi).$

Решение 5.

а) Рассматривается функция $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция синуса является непрерывной и монотонно возрастающей. Следовательно, свое наименьшее и наибольшее значения она принимает на концах данного отрезка.
Наименьшее значение достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$: $y_{min} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Наибольшее значение достигается при $x = \frac{\pi}{2}$: $y_{max} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Поскольку функция непрерывна, ее область значений на данном отрезке — это интервал между ее наименьшим и наибольшим значениями.
Ответ: $y \in [-1; 1]$.

б) Рассматривается функция $y = \cos x$ на отрезке $x \in [0; \pi]$. На этом отрезке функция косинуса является непрерывной и монотонно убывающей. Следовательно, свое наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах данного отрезка.
Наибольшее значение достигается при $x = 0$: $y_{max} = \cos(0) = 1$.
Наименьшее значение достигается при $x = \pi$: $y_{min} = \cos(\pi) = -1$.
Поскольку функция непрерывна, ее область значений на данном отрезке — это интервал между ее наибольшим и наименьшим значениями.
Ответ: $y \in [-1; 1]$.

в) Рассматривается функция $y = \tg x$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция тангенса является непрерывной и монотонно возрастающей. У функции есть вертикальные асимптоты на границах интервала.
При стремлении $x$ к $-\frac{\pi}{2}$ справа ($x \to -\frac{\pi}{2}^+$), значение $y = \tg x$ стремится к $-\infty$.
При стремлении $x$ к $\frac{\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{\pi}{2}^-$), значение $y = \tg x$ стремится к $+\infty$.
Так как функция непрерывна на данном интервале, она принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.

г) Рассматривается функция $y = \ctg x$ на интервале $x \in (0; \pi)$. На этом интервале функция котангенса является непрерывной и монотонно убывающей. У функции есть вертикальные асимптоты на границах интервала.
При стремлении $x$ к $0$ справа ($x \to 0^+$), значение $y = \ctg x$ стремится к $+\infty$.
При стремлении $x$ к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$), значение $y = \ctg x$ стремится к $-\infty$.
Так как функция непрерывна на данном интервале, она принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.