Номер 76, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 76, страница 322.

№76 (с. 322)
Условие. №76 (с. 322)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 322, номер 76, Условие

76. На рисунке 157 изображена часть графика периодической функции, определенной на всей числовой прямой. Каким может быть наименьший положительный период функции $f$?

a) y 0 $ \frac{T}{2} $ x

б) y 0 $ \frac{T}{4} $ $ \frac{3T}{4} $ x

в) y 0 $ \frac{T}{2} $ $ T $ x

Рис. 156

a) y 1 0 1 2 x

б) y 1 0 1 2 3 4 5 6 x

в) y 1 0 1 2 3 4 5 x

Рис. 157

Решение 5. №76 (с. 322)

а) На рисунке изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Функция $f(x)$ на этом отрезке возрастает. Пусть $T$ — наименьший положительный период функции. По определению периодической функции, $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$. В частности, $f(0+T) = f(T) = f(0)$.Поскольку функция строго возрастает на $[0, 2]$, то для любого $t \in (0, 2]$ выполняется неравенство $f(t) > f(0)$. Следовательно, период $T$ не может быть равен или меньше 2. Значит, $T > 2$.Нам дана только часть графика, и мы можем достроить его так, чтобы он стал периодическим. Простейший способ сделать это — создать симметричный узор. Показанный участок на $[0, 2]$ представляет собой подъем. Мы можем дополнить его симметричным спуском на отрезке $[2, 4]$, чтобы в точке $x=4$ функция вернулась к исходному значению $f(0)$. То есть, можно доопределить функцию на $[2, 4]$ так, чтобы $f(x) = f(4-x)$ для $x \in [2, 4]$. Тогда $f(4) = f(4-4) = f(0)$, и полученный на отрезке $[0, 4]$ "шаблон" можно периодически продолжить на всю числовую прямую. Длина этого шаблона равна 4. Таким образом, наименьший возможный положительный период функции равен 4.
Ответ: 4

б) На графике видны повторяющиеся структурные элементы. Пики (локальные максимумы) функции наблюдаются в точках $x=1$ и $x=4$. Расстояние между этими пиками по оси абсцисс составляет $4-1=3$. Впадины (локальные минимумы) находятся в точках $x=3$ и $x=6$. Расстояние между ними также равно $6-3=3$. Кроме того, отрезок графика на интервале $[1, 3]$ (спуск) выглядит параллельным отрезку на интервале $[4, 6]$ (также спуск). Эти наблюдения убедительно свидетельствуют о том, что период функции, скорее всего, равен 3.Проверим это предположение. Если период $T=3$, то для всех $x$ должно выполняться равенство $f(x+3)=f(x)$. В частности, должно быть $f(0)=f(3)$. Из графика видно, что $f(0)=1$, а $f(3)=y_{min}$. На рисунке кажется, что $y_{min} > 1$. Однако, в подобных задачах графики часто бывают схематичными, и ключевую роль играет структура, а не точное соблюдение масштаба. Фраза в условии "каким может быть" позволяет нам выбрать наиболее правдоподобный вариант, основанный на структуре. Если мы предположим, что на самом деле $y_{min}=1$, то условие $f(0)=f(3)$ выполняется. При этом предположении весь остальной график также соответствует функции с периодом 3: участок подъема на $[3,4]$ является сдвигом участка на $[0,1]$, а участок спуска на $[4,6]$ — сдвигом участка на $[1,3]$. Так как на интервале $(0,3)$ функция не принимает значение, равное $f(0)$, то 3 будет наименьшим положительным периодом.
Ответ: 3

в) На рисунке показан график функции на отрезке $[0, 5]$. Для нахождения наименьшего положительного периода $T$ мы должны найти наименьшее положительное число $T$, для которого можно утверждать, что $f(x+T) = f(x)$. Это, в частности, требует, чтобы $f(T)=f(0)$.Из графика мы видим, что $f(0)=1$. В отличие от графика из пункта б), здесь нет очевидных повторяющихся элементов или симметрии. Значения локальных максимумов в точках $x=1$ и $x=4$ визуально различны.Чтобы найти наименьший возможный период, нам нужно найти наименьшее значение $T>0$, при котором функция может вернуться в значение $f(0)=1$. На показанном участке $[0, 5]$ значение функции, по-видимому, строго больше 1 для всех $x \in (0, 5]$.Вопрос "каким может быть" наименьший период предполагает, что мы можем сделать некоторое допущение о поведении функции. Самый простой способ создать периодическую функцию — это предположить, что показанный отрезок $[0, 5]$ является одним полным периодом. Для этого необходимо, чтобы значения на концах отрезка совпадали, то есть $f(5)=f(0)$. Несмотря на то, что на рисунке $f(5) > 1$, мы можем предположить, что на самом деле $f(5)=1$. В этом случае наименьшим положительным периодом будет $T=5$, так как на интервале $(0, 5)$ функция не возвращается к значению 1. Любой другой способ достроить график до периодического (например, путем добавления новых участков) приведет к большему значению периода.
Ответ: 5

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 76 расположенного на странице 322 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №76 (с. 322), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.