Номер 76, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 76, страница 322.

Условие.

76. На рисунке 157 изображена часть графика периодической функции, определенной на всей числовой прямой. Каким может быть наименьший положительный период функции $f$?

a) y 0 $ \frac{T}{2} $ x

б) y 0 $ \frac{T}{4} $ $ \frac{3T}{4} $ x

в) y 0 $ \frac{T}{2} $ $ T $ x

Рис. 156

a) y 1 0 1 2 x

б) y 1 0 1 2 3 4 5 6 x

в) y 1 0 1 2 3 4 5 x

Рис. 157

Решение 5.

а) На рисунке изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Функция $f(x)$ на этом отрезке возрастает. Пусть $T$ — наименьший положительный период функции. По определению периодической функции, $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$. В частности, $f(0+T) = f(T) = f(0)$.Поскольку функция строго возрастает на $[0, 2]$, то для любого $t \in (0, 2]$ выполняется неравенство $f(t) > f(0)$. Следовательно, период $T$ не может быть равен или меньше 2. Значит, $T > 2$.Нам дана только часть графика, и мы можем достроить его так, чтобы он стал периодическим. Простейший способ сделать это — создать симметричный узор. Показанный участок на $[0, 2]$ представляет собой подъем. Мы можем дополнить его симметричным спуском на отрезке $[2, 4]$, чтобы в точке $x=4$ функция вернулась к исходному значению $f(0)$. То есть, можно доопределить функцию на $[2, 4]$ так, чтобы $f(x) = f(4-x)$ для $x \in [2, 4]$. Тогда $f(4) = f(4-4) = f(0)$, и полученный на отрезке $[0, 4]$ "шаблон" можно периодически продолжить на всю числовую прямую. Длина этого шаблона равна 4. Таким образом, наименьший возможный положительный период функции равен 4.
Ответ: 4

б) На графике видны повторяющиеся структурные элементы. Пики (локальные максимумы) функции наблюдаются в точках $x=1$ и $x=4$. Расстояние между этими пиками по оси абсцисс составляет $4-1=3$. Впадины (локальные минимумы) находятся в точках $x=3$ и $x=6$. Расстояние между ними также равно $6-3=3$. Кроме того, отрезок графика на интервале $[1, 3]$ (спуск) выглядит параллельным отрезку на интервале $[4, 6]$ (также спуск). Эти наблюдения убедительно свидетельствуют о том, что период функции, скорее всего, равен 3.Проверим это предположение. Если период $T=3$, то для всех $x$ должно выполняться равенство $f(x+3)=f(x)$. В частности, должно быть $f(0)=f(3)$. Из графика видно, что $f(0)=1$, а $f(3)=y_{min}$. На рисунке кажется, что $y_{min} > 1$. Однако, в подобных задачах графики часто бывают схематичными, и ключевую роль играет структура, а не точное соблюдение масштаба. Фраза в условии "каким может быть" позволяет нам выбрать наиболее правдоподобный вариант, основанный на структуре. Если мы предположим, что на самом деле $y_{min}=1$, то условие $f(0)=f(3)$ выполняется. При этом предположении весь остальной график также соответствует функции с периодом 3: участок подъема на $[3,4]$ является сдвигом участка на $[0,1]$, а участок спуска на $[4,6]$ — сдвигом участка на $[1,3]$. Так как на интервале $(0,3)$ функция не принимает значение, равное $f(0)$, то 3 будет наименьшим положительным периодом.
Ответ: 3

в) На рисунке показан график функции на отрезке $[0, 5]$. Для нахождения наименьшего положительного периода $T$ мы должны найти наименьшее положительное число $T$, для которого можно утверждать, что $f(x+T) = f(x)$. Это, в частности, требует, чтобы $f(T)=f(0)$.Из графика мы видим, что $f(0)=1$. В отличие от графика из пункта б), здесь нет очевидных повторяющихся элементов или симметрии. Значения локальных максимумов в точках $x=1$ и $x=4$ визуально различны.Чтобы найти наименьший возможный период, нам нужно найти наименьшее значение $T>0$, при котором функция может вернуться в значение $f(0)=1$. На показанном участке $[0, 5]$ значение функции, по-видимому, строго больше 1 для всех $x \in (0, 5]$.Вопрос "каким может быть" наименьший период предполагает, что мы можем сделать некоторое допущение о поведении функции. Самый простой способ создать периодическую функцию — это предположить, что показанный отрезок $[0, 5]$ является одним полным периодом. Для этого необходимо, чтобы значения на концах отрезка совпадали, то есть $f(5)=f(0)$. Несмотря на то, что на рисунке $f(5) > 1$, мы можем предположить, что на самом деле $f(5)=1$. В этом случае наименьшим положительным периодом будет $T=5$, так как на интервале $(0, 5)$ функция не возвращается к значению 1. Любой другой способ достроить график до периодического (например, путем добавления новых участков) приведет к большему значению периода.
Ответ: 5