Номер 77, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 77, страница 323.

Условие.

a)

б)

Рис. 158

Дан график функции $y = f (x)$ (рис. 158). Постройте эскиз графика функции (77—78).

77. a) $y = f (-2x)$;

б) $y = f (|x|)$;

в) $y = f (1 - x)$;

г) $y = |f (x)|$.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = f(x)$, представленным на рисунке 158а. Проанализируем исходный график. Это кусочно-линейная функция, имеющая следующие ключевые точки и особенности:

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x \approx -2.5$, $x = -1$ и $x = 3$.
• Локальный максимум (вершина) в точке $(0, 2)$.
• Еще один локальный максимум в точке $x = -2$. Высота этого пика (ордината) больше 1.
• Локальный минимум (излом графика) в точке $(-1, 0)$, которая также является нулем функции.
• При $x < -2.5$ значения функции отрицательны.

На основе этих данных построим эскизы графиков требуемых функций, описывая геометрические преобразования.

а) $y = f(-2x)$

Построение графика функции $y = f(-2x)$ из графика $y = f(x)$ выполняется путем последовательного применения двух преобразований: отражения относительно оси OY ($x \to -x$) и горизонтального сжатия в 2 раза ($x \to 2x$). В совокупности, каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x', y')$, где $y' = y$ и $x' = -x/2$. При этом ординаты (значения y) всех точек сохраняются, а их абсциссы (значения x) делятся на -2.

Применим это преобразование к ключевым точкам исходного графика:

• Нуль $x = 3$ переходит в $x' = -3/2 = -1.5$.
• Максимум $(0, 2)$ переходит в точку $(-0/2, 2) = (0, 2)$.
• Минимум $(-1, 0)$ переходит в точку $(-(-1)/2, 0) = (0.5, 0)$.
• Максимум при $x = -2$ переходит в точку с абсциссой $x' = -(-2)/2 = 1$. Ордината (высота пика) остается той же.
• Нуль $x \approx -2.5$ переходит в $x' = -(-2.5)/2 = 1.25$.

Ответ: Эскиз графика функции $y = f(-2x)$ представляет собой ломаную линию, полученную из исходной путем отражения относительно оси OY и сжатия к ней в 2 раза. График имеет нули в точках $x=-1.5$, $x=0.5$ и $x \approx 1.25$. Локальный максимум находится в точке $(0, 2)$, локальный минимум — в точке $(0.5, 0)$. Еще один локальный максимум расположен в точке с абсциссой $x=1$.

б) $y = f(|x|)$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ используется следующее правило: часть графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика для $x < 0$ заменяется на симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси OY. В результате получается график четной функции.

Применим это к нашему графику:

• Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это ломаная, соединяющая точки $(0, 2)$ и $(3, 0)$. Эту часть мы сохраняем.
• Часть исходного графика при $x < 0$ удаляем.
• Отражаем сохраненную часть относительно оси OY. Точка $(0, 2)$ остается на месте, а точка $(3, 0)$ переходит в точку $(-3, 0)$. Таким образом, для $x < 0$ мы получаем отрезок, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(0, 2)$.

Ответ: Эскиз графика функции $y = f(|x|)$ симметричен относительно оси ординат. Он имеет форму "шатра" с вершиной в точке $(0, 2)$ и пересекает ось абсцисс в точках $x=-3$ и $x=3$.

в) $y = f(1 - x)$

Преобразование $y = f(1 - x)$ можно представить как $y = f(-(x - 1))$. Это означает, что для получения нового графика нужно сначала отразить исходный график $y = f(x)$ относительно оси OY (получив $y = f(-x)$), а затем сдвинуть результат на 1 единицу вправо (получив $y = f(-(x-1))$). Данное преобразование эквивалентно симметричному отражению графика $y=f(x)$ относительно вертикальной прямой $x = 1/2$. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(1-x, y)$.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Нуль $x = 3$ переходит в $x' = 1-3 = -2$.
• Максимум $(0, 2)$ переходит в точку $(1-0, 2) = (1, 2)$.
• Минимум $(-1, 0)$ переходит в точку $(1-(-1), 0) = (2, 0)$.
• Максимум при $x = -2$ переходит в точку с абсциссой $x' = 1-(-2) = 3$.
• Нуль $x \approx -2.5$ переходит в $x' = 1-(-2.5) = 3.5$.

Ответ: Эскиз графика функции $y = f(1-x)$ — это ломаная линия, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $x=0.5$. График имеет нули в точках $x=-2$, $x=2$ и $x \approx 3.5$. Локальный максимум находится в точке $(1, 2)$, а локальный минимум — в точке $(2, 0)$.

г) $y = |f(x)|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ части графика $y = f(x)$, лежащие ниже оси OX, следует симметрично отразить относительно этой оси, а части, лежащие выше или на оси OX, оставить без изменений.

Применим это к нашему графику:

• Исходный график $y = f(x)$ неотрицателен ($f(x) \ge 0$) на промежутке $x \in [\approx -2.5, 3]$. Эта часть графика не меняется.
• Исходный график отрицателен ($f(x) < 0$) при $x < -2.5$. Эту часть графика (луч, идущий влево и вниз от точки $(\approx -2.5, 0)$) нужно отразить относительно оси OX. Она станет лучом, идущим влево и вверх.

Ответ: Эскиз графика функции $y = |f(x)|$ полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он совпадает с исходным графиком для $x \ge -2.5$ (приблизительно). Для $x < -2.5$ он является зеркальным отражением исходного графика относительно оси абсцисс. В точке $x \approx -2.5$ на новом графике образуется "излом" (острый минимум).