Номер 77, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 77, страница 323.
№77 (с. 323)
Условие. №77 (с. 323)
скриншот условия

a)
б)
Рис. 158
Дан график функции $y = f (x)$ (рис. 158). Постройте эскиз графика функции (77—78).
77. a) $y = f (-2x)$;
б) $y = f (|x|)$;
в) $y = f (1 - x)$;
г) $y = |f (x)|$.
Решение 3. №77 (с. 323)

Решение 5. №77 (с. 323)
Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = f(x)$, представленным на рисунке 158а. Проанализируем исходный график. Это кусочно-линейная функция, имеющая следующие ключевые точки и особенности:
- Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x \approx -2.5$, $x = -1$ и $x = 3$.
- Локальный максимум (вершина) в точке $(0, 2)$.
- Еще один локальный максимум в точке $x = -2$. Высота этого пика (ордината) больше 1.
- Локальный минимум (излом графика) в точке $(-1, 0)$, которая также является нулем функции.
- При $x < -2.5$ значения функции отрицательны.
На основе этих данных построим эскизы графиков требуемых функций, описывая геометрические преобразования.
а) $y = f(-2x)$
Построение графика функции $y = f(-2x)$ из графика $y = f(x)$ выполняется путем последовательного применения двух преобразований: отражения относительно оси OY ($x \to -x$) и горизонтального сжатия в 2 раза ($x \to 2x$). В совокупности, каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x', y')$, где $y' = y$ и $x' = -x/2$. При этом ординаты (значения y) всех точек сохраняются, а их абсциссы (значения x) делятся на -2.
Применим это преобразование к ключевым точкам исходного графика:
- Нуль $x = 3$ переходит в $x' = -3/2 = -1.5$.
- Максимум $(0, 2)$ переходит в точку $(-0/2, 2) = (0, 2)$.
- Минимум $(-1, 0)$ переходит в точку $(-(-1)/2, 0) = (0.5, 0)$.
- Максимум при $x = -2$ переходит в точку с абсциссой $x' = -(-2)/2 = 1$. Ордината (высота пика) остается той же.
- Нуль $x \approx -2.5$ переходит в $x' = -(-2.5)/2 = 1.25$.
Ответ: Эскиз графика функции $y = f(-2x)$ представляет собой ломаную линию, полученную из исходной путем отражения относительно оси OY и сжатия к ней в 2 раза. График имеет нули в точках $x=-1.5$, $x=0.5$ и $x \approx 1.25$. Локальный максимум находится в точке $(0, 2)$, локальный минимум — в точке $(0.5, 0)$. Еще один локальный максимум расположен в точке с абсциссой $x=1$.
б) $y = f(|x|)$
Для построения графика функции $y = f(|x|)$ используется следующее правило: часть графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика для $x < 0$ заменяется на симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси OY. В результате получается график четной функции.
Применим это к нашему графику:
- Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это ломаная, соединяющая точки $(0, 2)$ и $(3, 0)$. Эту часть мы сохраняем.
- Часть исходного графика при $x < 0$ удаляем.
- Отражаем сохраненную часть относительно оси OY. Точка $(0, 2)$ остается на месте, а точка $(3, 0)$ переходит в точку $(-3, 0)$. Таким образом, для $x < 0$ мы получаем отрезок, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(0, 2)$.
Ответ: Эскиз графика функции $y = f(|x|)$ симметричен относительно оси ординат. Он имеет форму "шатра" с вершиной в точке $(0, 2)$ и пересекает ось абсцисс в точках $x=-3$ и $x=3$.
в) $y = f(1 - x)$
Преобразование $y = f(1 - x)$ можно представить как $y = f(-(x - 1))$. Это означает, что для получения нового графика нужно сначала отразить исходный график $y = f(x)$ относительно оси OY (получив $y = f(-x)$), а затем сдвинуть результат на 1 единицу вправо (получив $y = f(-(x-1))$). Данное преобразование эквивалентно симметричному отражению графика $y=f(x)$ относительно вертикальной прямой $x = 1/2$. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(1-x, y)$.
Применим это преобразование к ключевым точкам:
- Нуль $x = 3$ переходит в $x' = 1-3 = -2$.
- Максимум $(0, 2)$ переходит в точку $(1-0, 2) = (1, 2)$.
- Минимум $(-1, 0)$ переходит в точку $(1-(-1), 0) = (2, 0)$.
- Максимум при $x = -2$ переходит в точку с абсциссой $x' = 1-(-2) = 3$.
- Нуль $x \approx -2.5$ переходит в $x' = 1-(-2.5) = 3.5$.
Ответ: Эскиз графика функции $y = f(1-x)$ — это ломаная линия, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $x=0.5$. График имеет нули в точках $x=-2$, $x=2$ и $x \approx 3.5$. Локальный максимум находится в точке $(1, 2)$, а локальный минимум — в точке $(2, 0)$.
г) $y = |f(x)|$
Для построения графика функции $y = |f(x)|$ части графика $y = f(x)$, лежащие ниже оси OX, следует симметрично отразить относительно этой оси, а части, лежащие выше или на оси OX, оставить без изменений.
Применим это к нашему графику:
- Исходный график $y = f(x)$ неотрицателен ($f(x) \ge 0$) на промежутке $x \in [\approx -2.5, 3]$. Эта часть графика не меняется.
- Исходный график отрицателен ($f(x) < 0$) при $x < -2.5$. Эту часть графика (луч, идущий влево и вниз от точки $(\approx -2.5, 0)$) нужно отразить относительно оси OX. Она станет лучом, идущим влево и вверх.
Ответ: Эскиз графика функции $y = |f(x)|$ полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он совпадает с исходным графиком для $x \ge -2.5$ (приблизительно). Для $x < -2.5$ он является зеркальным отражением исходного графика относительно оси абсцисс. В точке $x \approx -2.5$ на новом графике образуется "излом" (острый минимум).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 77 расположенного на странице 323 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №77 (с. 323), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.