Номер 79, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 79, страница 323.

Условие.

79. Найдите последовательность преобразований, с помощью которых из графика функции $f$ может быть получен график функции $\varphi$:

a) $f(x) = \sin x$, $\varphi(x) = \sin x + \cos x$;

б) $f(x) = \sin^2 x$, $\varphi(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.

Решение 5.

а)

Даны функции $f(x) = \sin x$ и $\phi(x) = \sin x + \cos x$. Для того чтобы найти последовательность преобразований, необходимо выразить функцию $\phi(x)$ через $f(x)$. Преобразуем выражение для $\phi(x)$, используя метод введения вспомогательного угла.

$ \phi(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) $

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем применить формулу синуса суммы $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$:

$ \phi(x) = \sqrt{2} (\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) $

Теперь, зная что $f(x) = \sin x$, мы можем записать $\phi(x)$ в виде $\phi(x) = \sqrt{2} f(x + \frac{\pi}{4})$. Это выражение показывает, что для получения графика функции $\phi(x)$ из графика $f(x)$ нужно выполнить два преобразования:

1. Сдвиг графика $y=f(x)$ влево по оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x+\frac{\pi}{4}$ и дает нам функцию $y_1 = f(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
2. Растяжение полученного графика $y=y_1$ от оси абсцисс (вдоль оси ординат) с коэффициентом $\sqrt{2}$. Это преобразование соответствует умножению функции на $\sqrt{2}$ и дает нам итоговую функцию $\phi(x) = \sqrt{2} y_1 = \sqrt{2} f(x + \frac{\pi}{4})$.

Ответ: График функции $\phi(x)$ получается из графика функции $f(x)$ путем сдвига влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ и последующего растяжения вдоль оси Oy в $\sqrt{2}$ раз.

б)

Даны функции $f(x) = \sin^2 x$ и $\phi(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Сначала упростим выражение для функции $\phi(x)$, выделив полный квадрат:

$ \phi(x) = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$ \phi(x) = 1^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x $

Далее, применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x$, откуда $2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2(2x)$. Подставим это в выражение для $\phi(x)$:

$ \phi(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) $

Так как исходная функция $f(x) = \sin^2 x$, то $\sin^2(2x)$ можно записать как $f(2x)$. Таким образом, мы выразили $\phi(x)$ через $f(x)$:

$ \phi(x) = 1 - \frac{1}{2} f(2x) = -\frac{1}{2} f(2x) + 1 $

Чтобы получить график функции $\phi(x)$ из графика $f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Сжатие графика $y=f(x)$ к оси ординат в 2 раза (горизонтальное сжатие), что дает $y_1 = f(2x)$.
2. Сжатие графика $y=y_1$ к оси абсцисс в 2 раза (вертикальное сжатие), что дает $y_2 = \frac{1}{2} f(2x)$.
3. Симметричное отражение графика $y=y_2$ относительно оси абсцисс, что дает $y_3 = -\frac{1}{2} f(2x)$.
4. Сдвиг графика $y=y_3$ вверх вдоль оси ординат на 1 единицу, что дает итоговую функцию $\phi(x) = -\frac{1}{2} f(2x) + 1$.

Ответ: График функции $\phi(x)$ получается из графика функции $f(x)$ последовательным применением четырех преобразований: сжатие к оси Oy в 2 раза, сжатие к оси Ox в 2 раза, отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх по оси Oy на 1.