Номер 82, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 82, страница 323.

Условие.

82. Найдите промежутки возрастания (убывания), максимумы и минимумы функции:

а) $y = 2 \sin x + 3 \cos x$;

б) $y = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}$;

в) $y = \cos 2x - 2 \cos x$;

г) $y = \lg \sin x$.

Решение 5.

а) $y = 2 \sin x + 3 \cos x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $x \in \mathbb{R}$. Функция является периодической с периодом $2\pi$, поэтому достаточно исследовать ее на любом отрезке длиной $2\pi$, например, $[0, 2\pi]$.

2. Производная. Найдем производную функции:

$y' = (2 \sin x + 3 \cos x)' = 2 \cos x - 3 \sin x$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$2 \cos x - 3 \sin x = 0$

$2 \cos x = 3 \sin x$

Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 3$ неверно):

$\tan x = \frac{2}{3}$

Решениями этого уравнения являются $x = \arctan(\frac{2}{3}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Обозначим $\alpha = \arctan(\frac{2}{3})$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. Для определения знака производной найдем вторую производную:

$y'' = (2 \cos x - 3 \sin x)' = -2 \sin x - 3 \cos x = -(2 \sin x + 3 \cos x) = -y$.

Чтобы найти значения синуса и косинуса в критических точках, воспользуемся тем, что $\tan \alpha = 2/3$. Отсюда $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$.

Проверим знак $y''$ в критических точках:
При $x = \alpha + 2k\pi$: $y'' = -y(\alpha) = -(2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha) = - (2 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} + 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}}) = -\frac{13}{\sqrt{13}} = -\sqrt{13} < 0$. Следовательно, это точки максимума.
При $x = \alpha + \pi + 2k\pi$: $y'' = -y(\alpha+\pi) = - (2 \sin(\alpha+\pi) + 3 \cos(\alpha+\pi)) = -(-2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha) = \sqrt{13} > 0$. Следовательно, это точки минимума.

Таким образом, функция возрастает от точки минимума до точки максимума и убывает от точки максимума до точки минимума.

5. Значения в точках экстремума.
Максимум функции: $y_{max} = y(\alpha + 2k\pi) = 2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha = \sqrt{13}$.
Минимум функции: $y_{min} = y(\alpha + \pi + 2k\pi) = -\sqrt{13}$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[\arctan(\frac{2}{3}) + \pi + 2k\pi, \arctan(\frac{2}{3}) + 2(k+1)\pi]$ и убывает на промежутках $[\arctan(\frac{2}{3}) + 2k\pi, \arctan(\frac{2}{3}) + \pi + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума $x_{max} = \arctan(\frac{2}{3}) + 2k\pi$, значение в максимуме $y_{max} = \sqrt{13}$. Точки минимума $x_{min} = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi + 2k\pi$, значение в минимуме $y_{min} = -\sqrt{13}$.

б) $y = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}$

1. Область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Упрощение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$

При $x \neq 1$ можно сократить дробь:

$y = \frac{x+2}{x+1}$, при $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

В точке $x=1$ функция имеет устранимый разрыв ("выколотая точка").

3. Производная. Найдем производную упрощенной функции:

$y' = \left(\frac{x+2}{x+1}\right)' = \frac{(x+2)'(x+1) - (x+2)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$.

4. Критические точки и промежутки монотонности.

Производная $y'$ нигде не равна нулю. Она не существует в точке $x=-1$, но эта точка не входит в область определения функции.
Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен при $x \neq -1$. Числитель равен -1 (отрицателен).
Следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

5. Экстремумы. Так как производная нигде не меняет знак, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Максимумов и минимумов нет.

в) $y = \cos 2x - 2 \cos x$

1. Область определения. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция периодическая с периодом $2\pi$, поэтому исследуем ее на отрезке $[0, 2\pi]$.

2. Производная.

$y' = (\cos 2x - 2 \cos x)' = -2\sin 2x + 2\sin x = 2\sin x - 2(2\sin x \cos x) = 2\sin x(1 - 2\cos x)$.

3. Критические точки. Приравняем производную к нулю: $2\sin x(1 - 2\cos x) = 0$.

Это возможно, если:
а) $\sin x = 0 \implies x = k\pi$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x=0, x=\pi, x=2\pi$.
б) $1 - 2\cos x = 0 \implies \cos x = 1/2$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x=\pi/3$ и $x=2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$.
Критические точки на $[0, 2\pi]$: $0, \pi/3, \pi, 5\pi/3, 2\pi$.

4. Промежутки монотонности. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.
- Интервал $(0, \pi/3)$: $\sin x > 0$, $\cos x > 1/2 \implies 1-2\cos x < 0$. $y' = (+)(-) < 0$. Функция убывает.
- Интервал $(\pi/3, \pi)$: $\sin x > 0$, $\cos x < 1/2 \implies 1-2\cos x > 0$. $y' = (+)(+) > 0$. Функция возрастает.
- Интервал $(\pi, 5\pi/3)$: $\sin x < 0$, $\cos x < 1/2 \implies 1-2\cos x > 0$. $y' = (-)(+) < 0$. Функция убывает.
- Интервал $(5\pi/3, 2\pi)$: $\sin x < 0$, $\cos x > 1/2 \implies 1-2\cos x < 0$. $y' = (-)(-) > 0$. Функция возрастает.

5. Экстремумы.
- В точке $x=\pi/3$ производная меняет знак с "-" на "+", значит это точка минимума.
- В точке $x=\pi$ производная меняет знак с "+" на "-", значит это точка максимума.
- В точке $x=5\pi/3$ производная меняет знак с "-" на "+", значит это точка минимума.
- Точки $x=0$ и $x=2\pi$ являются точками максимума, так как на $(-\pi/3, 0)$ производная положительна, а на $(0, \pi/3)$ отрицательна.

6. Значения в точках экстремума.
$y_{min}(\pi/3) = \cos(2\pi/3) - 2\cos(\pi/3) = -1/2 - 2(1/2) = -3/2$.
$y_{min}(5\pi/3) = \cos(10\pi/3) - 2\cos(5\pi/3) = -1/2 - 2(1/2) = -3/2$.
$y_{max}(\pi) = \cos(2\pi) - 2\cos(\pi) = 1 - 2(-1) = 3$.
$y_{max}(2k\pi) = \cos(4k\pi) - 2\cos(2k\pi) = 1 - 2(1) = -1$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \pi + 2k\pi]$ и $[\frac{5\pi}{3} + 2k\pi, 2(k+1)\pi]$. Функция убывает на промежутках $[2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi]$ и $[\pi + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x = (2k+1)\pi$, где $y_{max}=3$, и $x=2k\pi$, где $y_{max}=-1$.
Точки минимума: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $y_{min}=-3/2$.

г) $y = \lg \sin x$

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\sin x > 0$.
Это выполняется при $x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)$ для $k \in \mathbb{Z}$.

2. Производная.

$y' = (\lg \sin x)' = \frac{1}{\sin x \cdot \ln 10} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x \ln 10} = \frac{\cot x}{\ln 10}$.

3. Критические точки. Приравняем производную к нулю: $\frac{\cot x}{\ln 10} = 0 \implies \cot x = 0$.

Решением является $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
Из этих точек нужно выбрать те, которые принадлежат области определения. Условию $\sin x > 0$ удовлетворяют только точки вида $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Промежутки монотонности. Исследуем знак производной на одном из интервалов области определения, например $(0, \pi)$. Критическая точка на этом интервале — $x = \pi/2$.
Знаменатель $\ln 10$ положителен, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком $\cot x$.
- На интервале $(0, \pi/2)$: $\cot x > 0$, значит $y'>0$. Функция возрастает.
- На интервале $(\pi/2, \pi)$: $\cot x < 0$, значит $y'<0$. Функция убывает.

5. Экстремумы. В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума.
Значение функции в точках максимума:
$y_{max} = \lg\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) = \lg(1) = 0$.
Точек минимума у функции нет, так как на границах области определения ($x \to 2k\pi^+$ и $x \to (\pi+2k\pi)^-$) $\sin x \to 0^+$, и $y = \lg \sin x \to -\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, значение в максимуме $y_{max}=0$. Минимумов нет.