Номер 84, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 84, страница 324.

Условие.

Постройте график каждой из функций (84–85).

84. a) $y = \{1.5x - 1\}$;

б) $y = \frac{12 + x - x^2}{x^2 - 16}$;

в) $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x}$;

г) $y = \frac{\sqrt{1 + 2x + x^2}}{x+1}$.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Рассмотрим функцию $y = \{1,5x - 1\}$. Фигурные скобки обозначают дробную часть числа, которая определяется как $\{z\} = z - \lfloor z \rfloor$, где $\lfloor z \rfloor$ — целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее $z$).
1. Область значений. По определению дробной части, область значений функции $y$ — это промежуток $[0, 1)$.
2. Нули функции. Функция обращается в нуль, когда выражение под знаком дробной части является целым числом. $1,5x - 1 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$1,5x = n + 1$
$x = \frac{n+1}{1,5} = \frac{2(n+1)}{3}$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $x = \frac{2(n+1)}{3}$ для всех целых $n$. Например, при $n=-1, 0, 1, 2, ...$ получаем точки $x=0, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, 2, ...$
3. Поведение функции. Рассмотрим интервал между двумя последовательными нулями, например, от $x_n = \frac{2(n+1)}{3}$ до $x_{n+1} = \frac{2(n+2)}{3}$. Длина этого интервала равна $\frac{2}{3}$.
Для всех $x$ из полуинтервала $[\frac{2(n+1)}{3}, \frac{2(n+2)}{3})$ выполняется неравенство $n \le 1,5x - 1 < n+1$. Следовательно, на этом полуинтервале целая часть $\lfloor 1,5x - 1 \rfloor = n$.
Тогда функция принимает вид: $y = (1,5x - 1) - n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $1,5$.
- В начале интервала, при $x = \frac{2(n+1)}{3}$, имеем $y = 1,5 \cdot \frac{2(n+1)}{3} - 1 - n = (n+1) - 1 - n = 0$. - В конце интервала, при $x \to \frac{2(n+2)}{3}$, значение $y$ стремится к $1,5 \cdot \frac{2(n+2)}{3} - 1 - n = (n+2) - 1 - n = 1$.
4. Построение графика. График функции состоит из бесконечного числа параллельных отрезков прямых с угловым коэффициентом $1,5$. Каждый отрезок начинается в точке $(\frac{2k}{3}, 0)$ (включая эту точку) и заканчивается в точке $(\frac{2(k+1)}{3}, 1)$ (не включая эту точку), где $k$ — любое целое число. Получается "пилообразный" график.

Ответ: График функции представляет собой совокупность параллельных отрезков. Каждый отрезок начинается на оси Ox в точке вида $(\frac{2k}{3}, 0)$ (где $k \in \mathbb{Z}$), имеет угловой коэффициент $1,5$ и заканчивается, не достигая прямой $y=1$. Точки вида $(\frac{2k}{3}, 0)$ принадлежат графику, а точки вида $(\frac{2(k+1)}{3}, 1)$ — не принадлежат.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{12 + x - x^2}{x^2 - 16}$.
1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0 \implies (x-4)(x+4) \neq 0$. Отсюда $x \neq 4$ и $x \neq -4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; \infty)$.
2. Упрощение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $12 + x - x^2 = -(x^2 - x - 12)$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 12=0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Тогда $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$, а числитель равен $-(x-4)(x+3)$.
Знаменатель: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.
Подставим в исходную функцию: $y = \frac{-(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+4)}$.
При $x \neq 4$ можно сократить дробь на $(x-4)$: $y = -\frac{x+3}{x+4}$.
3. Анализ упрощенной функции. Функция $y = -\frac{x+3}{x+4}$ является дробно-линейной, её график — гипербола. Преобразуем выражение: $y = -\frac{(x+4)-1}{x+4} = -(1 - \frac{1}{x+4}) = \frac{1}{x+4} - 1$.
График этой функции получается из графика $y = 1/x$ сдвигом на 4 единицы влево и на 1 единицу вниз.
- Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$. - Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
4. Особая точка. Исходная функция не определена в точке $x=4$. Найдем значение, которое принимала бы упрощенная функция в этой точке: $y(4) = \frac{1}{4+4} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$.
Следовательно, на графике исходной функции в точке с абсциссой $x=4$ будет "выколотая" точка (точка разрыва). Координаты этой точки $(4, -7/8)$.
5. Построение графика. - Строим асимптоты: прямые $x=-4$ и $y=-1$. - Находим точки пересечения с осями координат: - с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{0+4} - 1 = -3/4$. Точка $(0, -3/4)$. - с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{1}{x+4} - 1 \implies x+4=1 \implies x=-3$. Точка $(-3, 0)$. - Рисуем ветви гиперболы, проходящие через найденные точки и приближающиеся к асимптотам. - На ветви, расположенной в первой и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот), отмечаем выколотую точку $(4, -7/8)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x+4} - 1$ с вертикальной асимптотой $x=-4$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$, и с выколотой точкой (точкой разрыва) в $(4, -7/8)$.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}$.
1. Упрощение функции. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Тогда $\sqrt{1-\cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. Функция принимает вид: $y = \frac{|\sin x|}{\cos x}$.
2. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты.
3. Раскрытие модуля. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$. - Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это происходит, когда $x$ принадлежит отрезкам вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция становится $y = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. - Случай 2: $\sin x < 0$. Это происходит, когда $x$ принадлежит интервалам вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция становится $y = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
4. Построение графика. Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим ее график на промежутке $[0, 2\pi]$, а затем повторим его на всей числовой оси. - На промежутке $[0, \pi]$ (где $\sin x \ge 0$), исключая точку $x=\pi/2$, график совпадает с графиком $y=\tan x$. - На промежутке $(\pi, 2\pi)$ (где $\sin x < 0$), исключая точку $x=3\pi/2$, график совпадает с графиком $y=-\tan x$. График $y=-\tan x$ является отражением графика $y=\tan x$ относительно оси Ox. - Таким образом, мы рисуем стандартные ветви тангенса на отрезке $[0, \pi]$ (с вертикальной асимптотой $x=\pi/2$) и отраженные ветви тангенса на интервале $(\pi, 2\pi)$ (с вертикальной асимптотой $x=3\pi/2$). - Функция непрерывна во всех точках области определения, включая точки $x=\pi k$, где $\sin x = 0$, так как $\lim_{x\to \pi k^-}y(x) = \lim_{x\to \pi k^+}y(x) = 0$.

Ответ: График функции строится следующим образом: на интервалах вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ (за исключением точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$) он совпадает с графиком $y=\tan x$, а на интервалах вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ (за исключением точек $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$) он совпадает с графиком $y=-\tan x$. Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}$.
1. Упрощение функции. Выражение под корнем является полным квадратом: $1+2x+x^2 = (x+1)^2$. Тогда $\sqrt{1+2x+x^2} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$. Функция принимает вид: $y = \frac{|x+1|}{x+1}$.
2. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.
3. Раскрытие модуля. - Случай 1: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$. В этом случае $|x+1| = x+1$, и функция становится $y = \frac{x+1}{x+1} = 1$. - Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. В этом случае $|x+1| = -(x+1)$, и функция становится $y = \frac{-(x+1)}{x+1} = -1$.
4. Построение графика. - Для всех $x > -1$ график функции — это горизонтальный луч $y=1$, начинающийся из точки $(-1, 1)$. - Для всех $x < -1$ график функции — это горизонтальный луч $y=-1$, заканчивающийся в точке $(-1, -1)$. - В точке $x=-1$ функция не определена, поэтому на графике в точках $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$ будут "выколотые" точки (обозначаются пустыми кружками).

Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча $y=1$ для $x > -1$ и луча $y=-1$ для $x < -1$. Точка с абсциссой $x=-1$ не принадлежит графику, что отмечается выколотыми точками в $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.