Номер 91, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 91, страница 324.

Условие.

91. На рисунке 159 изображен график функции

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$

Определите знаки коэффициентов $a, b, c, d.$

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать график функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Так как сам график (рисунок 159) не предоставлен, ниже изложен общий метод определения знаков коэффициентов кубической функции по её графику.

Определение знака коэффициента a

Знак старшего коэффициента a определяет общее поведение функции на бесконечности. Если график функции уходит из левой нижней части плоскости в правую верхнюю (т.е. при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$ значение $y \to +\infty$), то старший коэффициент положителен. Если же график уходит из левой верхней части плоскости в правую нижнюю (т.е. при $x \to -\infty$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to +\infty$ значение $y \to -\infty$), то старший коэффициент отрицателен.

Ответ: Знак a определяется по направлению ветвей графика на бесконечности. Если правая ветвь уходит вверх, то $a > 0$. Если правая ветвь уходит вниз, то $a < 0$.

Определение знака коэффициента d

Коэффициент d является свободным членом и показывает значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = d$. Геометрически это ордината точки пересечения графика с осью OY. Чтобы найти знак d, нужно посмотреть, где график пересекает ось ординат. Если точка пересечения находится выше оси OX, её ордината положительна, следовательно, $d > 0$. Если точка пересечения находится ниже оси OX, её ордината отрицательна, следовательно, $d < 0$. Если график проходит через начало координат, то $d = 0$.

Ответ: Знак d определяется по точке пересечения графика с осью OY. Если точка пересечения выше оси OX, то $d > 0$. Если ниже — $d < 0$. Если проходит через начало координат — $d = 0$.

Определение знака коэффициента c

Коэффициент c связан со скоростью изменения функции в точке $x=0$. Значение коэффициента c равно значению производной функции $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ в точке $x=0$, так как $y'(0) = c$. Геометрически $y'(0)$ — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке его пересечения с осью OY. Если в точке пересечения с осью OY функция возрастает (график идёт вверх), то касательная имеет положительный наклон, и $c > 0$. Если в точке пересечения с осью OY функция убывает (график идёт вниз), то касательная имеет отрицательный наклон, и $c < 0$. Если в точке $x=0$ находится точка экстремума (локальный максимум или минимум), то касательная горизонтальна, и $c = 0$.

Ответ: Знак c определяется по поведению графика в точке пересечения с осью OY. Если функция в этой точке возрастает, то $c > 0$. Если убывает — $c < 0$. Если в этой точке экстремум — $c=0$.

Определение знака коэффициента b

Знак коэффициента b связан с расположением точки перегиба графика. Точка перегиба — это точка, в которой меняется направление выпуклости графика. Её абсцисса $x_{перегиба}$ находится из условия, что вторая производная равна нулю: $y'' = (3ax^2 + 2bx + c)' = 6ax + 2b = 0$. Отсюда $x_{перегиба} = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a}$. Выразим отсюда b: $b = -3a \cdot x_{перегиба}$. Зная знак коэффициента a (из первого пункта) и определив по графику знак абсциссы точки перегиба $x_{перегиба}$, можно найти знак b. Для этого нужно найти на графике точку перегиба и определить её расположение относительно оси OY (т.е. знак $x_{перегиба}$). Например, если $a > 0$ и точка перегиба находится правее оси OY ($x_{перегиба} > 0$), то $b = -3(\text{+}) \cdot (\text{+}) = (\text{−})$, то есть $b < 0$. Если $a > 0$ и точка перегиба левее оси OY ($x_{перегиба} < 0$), то $b = -3(\text{+}) \cdot (\text{−}) = (\text{+})$, то есть $b > 0$.
Альтернативный способ: абсциссы точек экстремума $x_1$ и $x_2$ (если они есть) являются корнями производной $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$. По теореме Виета, их сумма равна $x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}$. Тогда $b = -\frac{3a}{2}(x_1+x_2)$. Знак b зависит от знака a и знака суммы абсцисс экстремумов, которые можно определить по графику.

Ответ: Знак b определяется по знаку коэффициента a и расположению точки перегиба $x_{перегиба}$ по формуле $b = -3a \cdot x_{перегиба}$.