Номер 90, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 90, страница 324.

Условие.

90. Найдите с помощью эскизов графиков число решений уравнения:

a) $\sin x = 100x;$

б) $\arcsin x = x;$

в) $\lg x = \cos x;$

г) $x^2 + \tan^2 x = 100.$

Решение 5.

а) $\sin x = 100x$

Для нахождения числа решений уравнения графическим методом, рассмотрим пересечение графиков двух функций: $y = \sin x$ и $y = 100x$.

1. График функции $y = \sin x$ — это синусоида, значения которой находятся в диапазоне от -1 до 1. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

2. График функции $y = 100x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) с очень большим угловым коэффициентом, равным 100.

Очевидно, что точка $x=0$ является решением, так как $\sin 0 = 0$ и $100 \cdot 0 = 0$. Таким образом, графики пересекаются в точке (0,0).

Для существования других решений необходимо, чтобы выполнялось условие $-1 \le 100x \le 1$, что эквивалентно $-0.01 \le x \le 0.01$.

Рассмотрим поведение функций вблизи точки $x=0$. Сравним их производные в этой точке. Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$. В точке $x=0$ наклон касательной к синусоиде равен $\cos 0 = 1$. Производная функции $y = 100x$ равна $y' = 100$. Наклон этой прямой равен 100.

Так как в точке $x=0$ наклон прямой $y=100x$ (равный 100) значительно больше наклона касательной к графику $y=\sin x$ (равного 1), прямая "прорезает" синусоиду в начале координат и сразу же выходит за пределы "коридора" $y \in [-1, 1]$, в котором лежит синусоида. Более строго, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 100x$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 100$. Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) \le 1 - 100 = -99$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(0) = 0$, следовательно, других решений нет.

Ответ: 1

б) $\arcsin x = x$

Рассмотрим графики функций $y = \arcsin x$ и $y = x$.

1. График функции $y = \arcsin x$ определен на отрезке $[-1, 1]$, а его значения лежат в диапазоне $[-\pi/2, \pi/2]$. График проходит через начало координат.

2. График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Точка $x=0$ является решением, так как $\arcsin 0 = 0$.

Найдем производные функций, чтобы сравнить их поведение. Производная $y = \arcsin x$ равна $y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Производная $y = x$ равна $y' = 1$.

В точке $x=0$ наклон касательной к графику $y = \arcsin x$ равен $\frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$. Это совпадает с наклоном прямой $y=x$. Следовательно, прямая $y=x$ является касательной к графику $y = \arcsin x$ в точке (0,0).

Чтобы определить, есть ли другие точки пересечения, рассмотрим вторую производную функции $y = \arcsin x$: $y'' = \left((1-x^2)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$. При $x \in (0, 1)$ вторая производная $y'' > 0$, значит, функция является выпуклой вниз (вогнутой), и ее график лежит выше касательной $y=x$. При $x \in (-1, 0)$ вторая производная $y'' < 0$, значит, функция является выпуклой вверх (выпуклой), и ее график лежит ниже касательной $y=x$. Таким образом, графики соприкасаются в точке (0,0), но не пересекаются в других точках.

Ответ: 1

в) $\lg x = \cos x$

Рассмотрим графики функций $y = \lg x$ (десятичный логарифм) и $y = \cos x$.

1. График $y = \lg x$ определен для $x>0$. Это монотонно возрастающая функция, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=1$ ($\lg 1 = 0$).

2. График $y = \cos x$ — косинусоида, значения которой лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, решения могут существовать только там, где $-1 \le \lg x \le 1$. Это соответствует диапазону $10^{-1} \le x \le 10^1$, то есть $0.1 \le x \le 10$.

Проанализируем графики на этом интервале:

• На интервале $(0, 1]$, $\lg x \le 0$, а $\cos x > 0$ (так как $1 < \pi/2$). Пересечений нет.
• На интервале $(1, \pi/2) \approx (1, 1.57)$: $y=\lg x$ возрастает от 0, а $y=\cos x$ убывает к 0. В точке $x=1$, $\lg 1 = 0$, а $\cos 1 > 0$. В точке $x=\pi/2$, $\lg(\pi/2)>0$, а $\cos(\pi/2)=0$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, и их значения "меняются местами", на этом интервале есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[\pi/2, 3\pi/2] \approx [1.57, 4.71]$, $\cos x \le 0$, в то время как $\lg x > 0$. Пересечений нет.
• Рассмотрим следующий "положительный горб" косинусоиды на интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$. В центре этого интервала, в точке $x=2\pi \approx 6.28$, имеем $\cos(2\pi)=1$. Значение логарифма в этой точке $\lg(2\pi) = \lg(6.28) < \lg(10) = 1$. Таким образом, в точке $x=2\pi$ график косинуса находится выше графика логарифма. На границах интервала $(3\pi/2, 5\pi/2)$ косинус равен нулю, а логарифм положителен. Это означает, что график $\lg x$ "входит" в горб косинусоиды и "выходит" из него, создавая две точки пересечения.
• Для $x > 10$, $\lg x > \lg 10 = 1$. Поскольку $\cos x \le 1$, $\lg x$ всегда будет больше, чем $\cos x$. Новых пересечений не будет.

Итого, мы имеем одно пересечение на интервале $(1, \pi/2)$ и два пересечения на интервале $(3\pi/2, 5\pi/2)$.

Ответ: 3

г) $x^2 + \tg^2 x = 100$

Это уравнение можно интерпретировать как поиск точек пересечения двух графиков: $y = \tg x$ и $x^2 + y^2 = 100$.

1. График функции $y = \tg x$ — это тангенсоида, состоящая из бесконечного числа ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

2. График уравнения $x^2 + y^2 = 100$ — это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R = 10$. Окружность существует только для $x \in [-10, 10]$.

Мы должны посчитать, сколько раз ветви тангенсоиды пересекают эту окружность. Найдем, какие асимптоты тангенса попадают в интервал $(-10, 10)$: $|\frac{\pi}{2} + k\pi| < 10 \implies |k + 0.5| < \frac{10}{\pi} \approx 3.18$. $-3.18 < k + 0.5 < 3.18 \implies -3.68 < k < 2.68$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Эти 6 значений $k$ определяют асимптоты $x=\pm\frac{\pi}{2}$, $x=\pm\frac{3\pi}{2}$, $x=\pm\frac{5\pi}{2}$, которые находятся внутри интервала $(-10, 10)$.

Асимптоты делят интервал $(-10, 10)$ на 7 областей, в каждой из которых находится непрерывная ветвь или часть ветви тангенса:

• 5 полных ветвей на интервалах $(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2})$, $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$. Каждая такая ветвь является монотонной функцией, значения которой изменяются от $-\infty$ до $+\infty$. Такая ветвь обязательно пересечет окружность дважды (один раз "войдет" в нее, другой раз "выйдет"). Итого: $5 \times 2 = 10$ решений.
• Часть ветви на интервале $(\frac{5\pi}{2}, 10] \approx (7.85, 10]$. На этом интервале тангенс возрастает от $-\infty$ до $\tg(10) > 0$. В точке $x \approx 9.42$ (где $x=3\pi$) тангенс равен 0, а окружность имеет $y = \pm\sqrt{100 - (3\pi)^2} \neq 0$. Точка $(3\pi, 0)$ лежит внутри окружности. В точке $x=10$ точка $(\_10, \tg(10))$ лежит вне окружности, т.к. $10^2 + \tg^2(10) > 100$. Так как ветвь идет извне окружности (от $-\infty$), заходит внутрь и снова выходит, она пересекает окружность дважды. Итого: 2 решения.
• Часть ветви на интервале $[-10, -\frac{5\pi}{2}) \approx [-10, -7.85)$. Это часть ветви, определенной на $(-7\pi/2, -5\pi/2)$. Ветвь возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Нас интересует ее поведение на отрезке от $x=-10$. В точке $x=-10$ точка $(-10, \tg(-10))$ лежит вне окружности ($(-10)^2 + \tg^2(-10) > 100$). В точке $x=-3\pi \approx -9.42$ точка $(-3\pi, 0)$ лежит внутри окружности. Так как ветвь идет извне, заходит внутрь, а затем уходит на $+\infty$ (снова выходя за пределы окружности), она также дает 2 пересечения. Итого: 2 решения.

Суммируя все пересечения: $10 + 2 + 2 = 14$.

Ответ: 14