Номер 85, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 85, страница 324.
№85 (с. 324)
Условие. №85 (с. 324)
скриншот условия

85. а) $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x};$
б) $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x;$
в) $y = \sin^2 (\sqrt{\text{tg } x}) + \cos^2 x (\sqrt{\text{tg } x});$
г) $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x.$
Решение 3. №85 (с. 324)


Решение 5. №85 (с. 324)
а) Исходное выражение: $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x}$.
Мы знаем, что для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$
$\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$
Таким образом, функция принимает вид:
$y = \sin x |\cos x| + \cos x |\sin x|$
Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Значение выражения зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$, то есть от координатной четверти, в которой находится угол $x$.
1-я четверть: $x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.
$y = \sin x (\cos x) + \cos x (\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
2-я четверть: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.
$y = \sin x (-\cos x) + \cos x (\sin x) = -\sin x \cos x + \sin x \cos x = 0$.
3-я четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.
$y = \sin x (-\cos x) + \cos x (-\sin x) = -\sin x \cos x - \sin x \cos x = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$.
4-я четверть: $x \in [\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.
$y = \sin x (\cos x) + \cos x (-\sin x) = \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0$.
Собрав все случаи вместе, получаем кусочно-заданную функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \\ -\sin(2x), & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.
Подставим это в исходное выражение:
$y = \sqrt{\sin^2 x} + \sin x$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = |\sin x| + \sin x$
Далее рассмотрим два случая:
Если $\sin x \ge 0$ (для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = \sin x$.
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Если $\sin x < 0$ (для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = -\sin x$.
$y = -\sin x + \sin x = 0$.
Ответ: $y = \begin{cases} 2 \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.
в) Исходное выражение: $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2 x(\sqrt{\operatorname{tg} x})$.
В данном выражении, с большой вероятностью, содержится опечатка. Логично предположить, что имелось в виду $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2(\sqrt{\operatorname{tg} x})$, так как это позволяет применить основное тригонометрическое тождество. Решим задачу исходя из этого предположения.
Обозначим $\alpha = \sqrt{\operatorname{tg} x}$. Тогда выражение принимает вид $y = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого $\alpha$.
Таким образом, $y = 1$.
Однако, это равенство выполняется только в области определения исходной функции. Найдем ее:
- Тангенс должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Условие $\operatorname{tg} x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Объединяя с первым условием, получаем область определения: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y=1$ при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
г) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ получаем $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.
Подставим это в исходное выражение:
$y = \sqrt{\cos^2 x} + \cos x$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = |\cos x| + \cos x$
Далее рассмотрим два случая:
Если $\cos x \ge 0$ (для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = \cos x$.
$y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
Если $\cos x < 0$ (для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = -\cos x$.
$y = -\cos x + \cos x = 0$.
Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 85 расположенного на странице 324 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №85 (с. 324), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.