Номер 85, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 85, страница 324.

Условие.

85. а) $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x};$

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x;$

в) $y = \sin^2 (\sqrt{\text{tg } x}) + \cos^2 x (\sqrt{\text{tg } x});$

г) $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное выражение: $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x}$.

Мы знаем, что для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$

$\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \sin x |\cos x| + \cos x |\sin x|$

Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Значение выражения зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$, то есть от координатной четверти, в которой находится угол $x$.

• 1-я четверть: $x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \sin x (\cos x) + \cos x (\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

• 2-я четверть: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = \sin x (-\cos x) + \cos x (\sin x) = -\sin x \cos x + \sin x \cos x = 0$.

• 3-я четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = \sin x (-\cos x) + \cos x (-\sin x) = -\sin x \cos x - \sin x \cos x = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$.

• 4-я четверть: $x \in [\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \sin x (\cos x) + \cos x (-\sin x) = \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0$.

Собрав все случаи вместе, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \\ -\sin(2x), & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \sqrt{\sin^2 x} + \sin x$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |\sin x| + \sin x$

Далее рассмотрим два случая:

• Если $\sin x \ge 0$ (для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = \sin x$.

  $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

• Если $\sin x < 0$ (для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = -\sin x$.

  $y = -\sin x + \sin x = 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

в) Исходное выражение: $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2 x(\sqrt{\operatorname{tg} x})$.

В данном выражении, с большой вероятностью, содержится опечатка. Логично предположить, что имелось в виду $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2(\sqrt{\operatorname{tg} x})$, так как это позволяет применить основное тригонометрическое тождество. Решим задачу исходя из этого предположения.

Обозначим $\alpha = \sqrt{\operatorname{tg} x}$. Тогда выражение принимает вид $y = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого $\alpha$.

Таким образом, $y = 1$.

Однако, это равенство выполняется только в области определения исходной функции. Найдем ее:

1. Тангенс должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\operatorname{tg} x \ge 0$.

Условие $\operatorname{tg} x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Объединяя с первым условием, получаем область определения: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y=1$ при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ получаем $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \sqrt{\cos^2 x} + \cos x$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |\cos x| + \cos x$

Далее рассмотрим два случая:

• Если $\cos x \ge 0$ (для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

• Если $\cos x < 0$ (для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = -\cos x + \cos x = 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.