Номер 92, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 92, страница 324.

Условие.

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию (92—96).

92. а) $x(y - 2) = 0$;

б) $|y| = |x^2 - 2x|$;

в) $(x - 2)(y + 4) = 0$;

г) $|y| = \sin x$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $x(y - 2) = 0$

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $y - 2 = 0$.

Первое уравнение, $x = 0$, задает на координатной плоскости ось ординат (ось OY).

Второе уравнение, $y - 2 = 0$, можно переписать как $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (оси OX) и проходящую через точку с координатами $(0, 2)$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному условию, представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых: оси OY ($x = 0$) и горизонтальной прямой $y = 2$.

б) $|y| = |x^2 - 2x|$

Равенство вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Применительно к нашей задаче это означает:

$y = x^2 - 2x$ или $y = -(x^2 - 2x)$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1. $y = x^2 - 2x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось OX в точках, где $y=0$, то есть $x^2 - 2x = 0$, откуда $x(x-2)=0$, значит $x=0$ и $x=2$.
2. $y = -(x^2 - 2x)$ или $y = -x^2 + 2x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$; $y_0 = -(1^2) + 2 \cdot 1 = 1$. Вершина находится в точке $(1, 1)$. Эта парабола пересекает ось OX в тех же точках: $x=0$ и $x=2$.

Искомое множество точек является объединением этих двух парабол.

Ответ: Множество точек является объединением двух парабол: $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2 + 2x$.

в) $(x - 2)(y + 4) = 0$

Аналогично пункту а), произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Это дает нам совокупность двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $y + 4 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 2$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси OY и проходящую через точку $(2, 0)$.

Из второго уравнения получаем $y = -4$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси OX и проходящую через точку $(0, -4)$.

Искомое множество точек является объединением этих двух пересекающихся прямых.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых: вертикальной прямой $x = 2$ и горизонтальной прямой $y = -4$.

г) $|y| = \sin x$

По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной. Следовательно, левая часть уравнения $|y|$ всегда больше или равна нулю. Это накладывает ограничение на правую часть:

$\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

На этих отрезках исходное уравнение $|y| = \sin x$ равносильно совокупности двух уравнений:

$y = \sin x$ и $y = -\sin x$.

Таким образом, для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \sin x$.
2. Оставить только те его части, которые лежат не ниже оси OX (арки синусоиды на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$).
3. Для этих же значений $x$ построить график $y = -\sin x$. Это будет означать симметричное отражение оставленных частей графика относительно оси OX.

В результате мы получим бесконечную последовательность замкнутых кривых, симметричных относительно оси OX и расположенных на отрезках, где синус неотрицателен.

Ответ: График представляет собой совокупность арок синусоиды $y = \sin x$ на интервалах, где $\sin x \ge 0$, и их зеркальных отражений $y = -\sin x$ относительно оси OX на тех же интервалах.