Номер 99, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 99, страница 326.

Условие.

99. Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Выразите через $p$ и $q$:

а) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^3 + x_2^3$;

в) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$;

г) $x_1^4 + x_2^4$.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней $x_1$ и $x_2$ связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 x_2 = q$

Эти два соотношения являются основными (элементарными симметрическими многочленами), и мы будем их использовать для выражения всех требуемых симметрических многочленов от корней.

а) $x_1^2+x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$

б) $x_1^3+x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством, связанным с кубом суммы:

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Выразим из него искомую сумму $x_1^3 + x_2^3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим значения $-p$ и $q$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3q(-p) = -p^3 + 3pq$

Ответ: $3pq - p^3$

в) $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2$.

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2}$

В числителе получилось выражение, которое мы нашли в пункте а), а в знаменателе — квадрат произведения корней. Подставим известные нам выражения:

$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$

$(x_1x_2)^2 = q^2$

Следовательно (при условии, что $q \neq 0$, иначе выражение не определено):

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{p^2 - 2q}{q^2}$

Ответ: $\frac{p^2 - 2q}{q^2}$

г) $x_1^4+x_2^4$

Чтобы найти сумму четвертых степеней, возведем в квадрат выражение для суммы квадратов, найденное в пункте а):

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + x_2^4 + 2(x_1x_2)^2$

Выразим отсюда $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим уже известные выражения для $x_1^2 + x_2^2$ и $x_1x_2$:

$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2q^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x_1^4 + x_2^4 = ((p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot 2q + (2q)^2) - 2q^2 = (p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$

Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$