Номер 99, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 99, страница 326.
№99 (с. 326)
Условие. №99 (с. 326)
скриншот условия

99. Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Выразите через $p$ и $q$:
а) $x_1^2 + x_2^2$;
б) $x_1^3 + x_2^3$;
в) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$;
г) $x_1^4 + x_2^4$.
Решение 5. №99 (с. 326)
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней $x_1$ и $x_2$ связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = q$
Эти два соотношения являются основными (элементарными симметрическими многочленами), и мы будем их использовать для выражения всех требуемых симметрических многочленов от корней.
а) $x_1^2+x_2^2$
Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из квадрата суммы:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Отсюда выразим $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим значения из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$
Ответ: $p^2 - 2q$
б) $x_1^3+x_2^3$
Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством, связанным с кубом суммы:
$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
Выразим из него искомую сумму $x_1^3 + x_2^3$:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
Подставим значения $-p$ и $q$:
$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3q(-p) = -p^3 + 3pq$
Ответ: $3pq - p^3$
в) $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$
Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2$.
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2}$
В числителе получилось выражение, которое мы нашли в пункте а), а в знаменателе — квадрат произведения корней. Подставим известные нам выражения:
$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$
$(x_1x_2)^2 = q^2$
Следовательно (при условии, что $q \neq 0$, иначе выражение не определено):
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{p^2 - 2q}{q^2}$
Ответ: $\frac{p^2 - 2q}{q^2}$
г) $x_1^4+x_2^4$
Чтобы найти сумму четвертых степеней, возведем в квадрат выражение для суммы квадратов, найденное в пункте а):
$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + x_2^4 + 2(x_1x_2)^2$
Выразим отсюда $x_1^4 + x_2^4$:
$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$
Подставим уже известные выражения для $x_1^2 + x_2^2$ и $x_1x_2$:
$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2q^2$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$x_1^4 + x_2^4 = ((p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot 2q + (2q)^2) - 2q^2 = (p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$
Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 99 расположенного на странице 326 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №99 (с. 326), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.