Номер 106, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 106, страница 326.

Условие.

106. а) $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12} $;

б) $ 6 - \frac{21}{x^2 - 4x - 10} = 4x - x^2 $;

В) $ -\frac{1}{(x+2)(x-7)} + \frac{2}{(x-2)(x-3)} = 1 $;

Г) $ (x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 9x + 20) = -30 $;

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq -2$.
Преобразуем левую часть уравнения: $\frac{1}{x^2+2x} - \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{12}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{(y+1) - y}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
Отсюда следует, что $y(y+1) = 12$.
$y^2 + y - 12 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Теперь выполним обратную замену.
1) $x^2+2x = 3$
$x^2+2x-3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
2) $x^2+2x = -4$
$x^2+2x+4 = 0$
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=1$ и $x=-3$.

Ответ: $1; -3$.

б)

Исходное уравнение: $6 - \frac{21}{x^2-4x-10} = 4x - x^2$.
ОДЗ: $x^2-4x-10 \neq 0$.
Перепишем уравнение в виде: $6 + x^2 - 4x = \frac{21}{x^2-4x-10}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2-4x-10$. Тогда $x^2-4x = y+10$.
Подставим в уравнение:
$6 + (y+10) = \frac{21}{y}$
$y+16 = \frac{21}{y}$
Умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что следует из ОДЗ):
$y^2 + 16y = 21$
$y^2 + 16y - 21 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения для $y$:
$D_y = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 256 + 84 = 340$.
$y = \frac{-16 \pm \sqrt{340}}{2} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{85}}{2} = -8 \pm \sqrt{85}$.
Выполним обратную замену.
1) $x^2-4x-10 = -8 + \sqrt{85}$
$x^2-4x - (2+\sqrt{85}) = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2+\sqrt{85})) = 16 + 8 + 4\sqrt{85} = 24 + 4\sqrt{85} = 4(6+\sqrt{85})$.
$x = \frac{4 \pm \sqrt{4(6+\sqrt{85})}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6+\sqrt{85}}}{2} = 2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$.
2) $x^2-4x-10 = -8 - \sqrt{85}$
$x^2-4x - (2-\sqrt{85}) = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2-\sqrt{85})) = 16 + 8 - 4\sqrt{85} = 24 - 4\sqrt{85} = 4(6-\sqrt{85})$.
Поскольку $\sqrt{85} > \sqrt{36} = 6$, то $6-\sqrt{85} < 0$, и $D_x < 0$. В этом случае действительных корней нет.
Корни $2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{1}{(x+2)(x-7)} + \frac{2}{(x-2)(x-3)} = 1$.
ОДЗ: $x \neq -2, 2, 3, 7$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$\frac{1}{x^2-5x-14} + \frac{2}{x^2-5x+6} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2-5x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{y-14} + \frac{2}{y+6} = 1$
Приведем к общему знаменателю $(y-14)(y+6)$:
$\frac{(y+6) + 2(y-14)}{(y-14)(y+6)} = 1$
$y+6+2y-28 = (y-14)(y+6)$
$3y - 22 = y^2 - 8y - 84$
$y^2 - 11y - 62 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения для $y$:
$D_y = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-62) = 121 + 248 = 369 = 9 \cdot 41$.
$y = \frac{11 \pm \sqrt{369}}{2} = \frac{11 \pm 3\sqrt{41}}{2}$.
Выполним обратную замену $x^2-5x=y$, или $x^2-5x-y=0$.
Корни для $x$ находятся по формуле $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+4y}}{2}$.
1) $y_1 = \frac{11+3\sqrt{41}}{2}$
$25+4y_1 = 25+4(\frac{11+3\sqrt{41}}{2}) = 25+2(11+3\sqrt{41}) = 25+22+6\sqrt{41} = 47+6\sqrt{41}$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}$.
2) $y_2 = \frac{11-3\sqrt{41}}{2}$
$25+4y_2 = 25+4(\frac{11-3\sqrt{41}}{2}) = 25+2(11-3\sqrt{41}) = 25+22-6\sqrt{41} = 47-6\sqrt{41}$.
$x_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2}$.
Все четыре корня являются действительными и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}; \frac{5 \pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2}$.

г)

Исходное уравнение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 9x + 20) = -30$.
Разложим на множители второй и третий сомножители:
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
$x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5)$
Уравнение примет вид:
$(x^2 - 3x + 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5) = -30$
Перегруппируем множители так, чтобы выделить общий член:
$(x+1)(x-4) = x^2-3x-4$
$(x+2)(x-5) = x^2-3x-10$
Теперь уравнение выглядит так:
$(x^2-3x+1)(x^2-3x-4)(x^2-3x-10) = -30$
Сделаем замену. Пусть $y = x^2-3x$.
$(y+1)(y-4)(y-10) = -30$
$(y^2-3y-4)(y-10) = -30$
$y^3-10y^2-3y^2+30y-4y+40 = -30$
$y^3 - 13y^2 + 26y + 70 = 0$
Подбором находим целый корень среди делителей числа 70. Проверка показывает, что $y=5$ является корнем: $5^3 - 13 \cdot 5^2 + 26 \cdot 5 + 70 = 125 - 325 + 130 + 70 = 0$.
Разделим многочлен $y^3 - 13y^2 + 26y + 70$ на $(y-5)$:
$(y-5)(y^2 - 8y - 14) = 0$
Отсюда $y_1=5$ или $y^2-8y-14=0$.
Решим второе уравнение: $D = (-8)^2 - 4(1)(-14) = 64+56 = 120$.
$y_{2,3} = \frac{8 \pm \sqrt{120}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{30}}{2} = 4 \pm \sqrt{30}$.
Выполним обратную замену $x^2-3x=y$.
1) $x^2-3x = 5 \implies x^2-3x-5=0$.
$D_x = (-3)^2-4(1)(-5)=9+20=29$. $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$.
2) $x^2-3x = 4+\sqrt{30} \implies x^2-3x-(4+\sqrt{30})=0$.
$D_x = 9-4(-(4+\sqrt{30}))=9+16+4\sqrt{30}=25+4\sqrt{30}$. $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2}$.
3) $x^2-3x = 4-\sqrt{30} \implies x^2-3x-(4-\sqrt{30})=0$.
$D_x = 9-4(-(4-\sqrt{30}))=9+16-4\sqrt{30}=25-4\sqrt{30}$. $x_{5,6} = \frac{3 \pm \sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}$.
Все 6 корней действительные.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}; \frac{3 \pm \sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2}; \frac{3 \pm \sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}$.