Номер 100, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 100, страница 326.

Условие.

100. а) Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + p = 0$ равна 16. Найдите $p$.

б) При каком значении $a$ сумма корней уравнения $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$ равна сумме квадратов этих корней?

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + p = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = p$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 16: $x_1^2 + x_2^2 = 16$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения в это тождество: $16 = (4)^2 - 2 \cdot p$ $16 = 16 - 2p$

Отсюда находим $p$: $2p = 16 - 16$ $2p = 0$ $p = 0$

При $p=0$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 16 > 0$, что подтверждает наличие двух действительных корней.

Ответ: $p = 0$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$. Для применения теоремы Виета приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$. $x^2 + 2ax - 2a + 1 = 0$ $x^2 + (2a)x + (1 - 2a) = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 - 2a$

По условию задачи, сумма корней равна сумме квадратов этих корней: $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тождеством $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. Подставим его в условие: $x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим выражения для суммы и произведения корней, выраженные через параметр $a$: $-2a = (-2a)^2 - 2(1 - 2a)$ $-2a = 4a^2 - 2 + 4a$

Получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его: $4a^2 + 6a - 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $2a^2 + 3a - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант $D_a$: $D_a = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$

Корни для $a$: $a = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Ответ: $a = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}, a = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.