Номер 100, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 100, страница 326.
№100 (с. 326)
Условие. №100 (с. 326)
скриншот условия

100. а) Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + p = 0$ равна 16. Найдите $p$.
б) При каком значении $a$ сумма корней уравнения $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$ равна сумме квадратов этих корней?
Решение 3. №100 (с. 326)

Решение 5. №100 (с. 326)
а)
Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + p = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$
- Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = p$
По условию задачи, сумма квадратов корней равна 16: $x_1^2 + x_2^2 = 16$.
Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Подставим известные значения в это тождество: $16 = (4)^2 - 2 \cdot p$ $16 = 16 - 2p$
Отсюда находим $p$: $2p = 16 - 16$ $2p = 0$ $p = 0$
При $p=0$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 16 > 0$, что подтверждает наличие двух действительных корней.
Ответ: $p = 0$.
б)
Дано уравнение $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$. Для применения теоремы Виета приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$. $x^2 + 2ax - 2a + 1 = 0$ $x^2 + (2a)x + (1 - 2a) = 0$
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По теореме Виета:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2a$
- Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 - 2a$
По условию задачи, сумма корней равна сумме квадратов этих корней: $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тождеством $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. Подставим его в условие: $x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим выражения для суммы и произведения корней, выраженные через параметр $a$: $-2a = (-2a)^2 - 2(1 - 2a)$ $-2a = 4a^2 - 2 + 4a$
Получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его: $4a^2 + 6a - 2 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $2a^2 + 3a - 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант $D_a$: $D_a = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$
Корни для $a$: $a = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
Ответ: $a = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}, a = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 100 расположенного на странице 326 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №100 (с. 326), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.