Номер 104, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 104, страница 326.

Условие.

104. Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:

а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0;$

б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0;$

в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0;$

г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0$

Для решения этого кубического уравнения воспользуемся результатом задачи 103, которым, по-видимому, является теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень вида $x = p/q$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента.

В данном уравнении свободный член равен 1, а старший коэффициент — 2.

Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.

Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

При $x = 1$: $2(1)^3 - (1)^2 + 1 + 1 = 2 - 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$.

При $x = -1$: $2(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 - 1 + 1 = -3 \neq 0$.

При $x = \frac{1}{2}$: $2(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = 2(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \neq 0$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $2(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 2(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0$.

Таким образом, $x = -1/2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $2x^3 - x^2 + x + 1$ делится на $(x + 1/2)$ или, что удобнее, на $(2x+1)$. Выполним деление многочлена в столбик:

$(2x^3 - x^2 + x + 1) \div (2x+1) = x^2 - x + 1$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$(2x+1)(x^2 - x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.

2) $x^2 - x + 1 = 0$.

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$

Применим тот же метод. Свободный член равен 1, старший коэффициент — 10.

Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.

Делители старшего коэффициента (10): $q \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10} \}$.

Проверим некоторые из них:

При $x = -1/2$: $10(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 10(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + 1 + 1 = -\frac{5}{4} - \frac{3}{4} + 2 = -\frac{8}{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Мы нашли корень $x = -1/2$. Разделим многочлен $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ на $(2x+1)$:

$(10x^3 - 3x^2 - 2x + 1) \div (2x+1) = 5x^2 - 4x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(2x+1)(5x^2 - 4x + 1) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.

2) $5x^2 - 4x + 1 = 0$.

Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-4)^2 - 4(5)(1) = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, у исходного уравнения только один действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Ищем рациональные корни. Свободный член равен -2, старший коэффициент — 1.

Делители свободного члена (-2): $p \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Делители старшего коэффициента (1): $q \in \{ \pm 1 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Проверим их:

При $x = 1$: $1^4 + 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = 1$.

При $x = -1$: $(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = -1$.

Так как $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(x-1)(x+1) = x^2-1$. Выполним деление:

$(x^4 + x^3 + x^2 - x - 2) \div (x^2 - 1) = x^2 + x + 2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(x-1)(x+1)(x^2 + x + 2) = 0$.

Решениями являются корни каждого множителя:

1) $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2) $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

3) $x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного трехчлена нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0$

Ищем рациональные корни уравнения. Свободный член равен -6, старший коэффициент — 2.

Делители свободного члена (-6): $p \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.

Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \}$.

Проверим некоторые из них:

При $x = 1/2$: $2(\frac{1}{2})^4 + 7(\frac{1}{2})^3 + 6(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 6 = 2(\frac{1}{16}) + 7(\frac{1}{8}) + 6(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 6 = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{12}{8} + \frac{28}{8} - \frac{48}{8} = \frac{1+7+12+28-48}{8} = \frac{0}{8} = 0$. Корень найден: $x = 1/2$.

При $x = -3$: $2(-3)^4 + 7(-3)^3 + 6(-3)^2 + 7(-3) - 6 = 2(81) + 7(-27) + 6(9) - 21 - 6 = 162 - 189 + 54 - 21 - 6 = 216 - 216 = 0$. Корень найден: $x = -3$.

Поскольку $x = 1/2$ и $x = -3$ — корни, многочлен делится на $(x - 1/2)$ и $(x+3)$, а значит и на их произведение $(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Выполним деление многочленов:

$(2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6) \div (2x^2 + 5x - 3) = x^2 + x + 2$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(2x-1)(x+3)(x^2 + x + 2) = 0$.

Корни уравнения:

1) $2x-1 = 0 \Rightarrow x = 1/2$.

2) $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

3) $x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_2 = -3$.