Номер 104, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 104, страница 326.
№104 (с. 326)
Условие. №104 (с. 326)
скриншот условия

104. Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:
а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0;$
б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0;$
в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0;$
г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0.$
Решение 3. №104 (с. 326)

Решение 5. №104 (с. 326)
а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0$
Для решения этого кубического уравнения воспользуемся результатом задачи 103, которым, по-видимому, является теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень вида $x = p/q$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента.
В данном уравнении свободный член равен 1, а старший коэффициент — 2.
Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.
Проверим эти значения подстановкой в уравнение:
При $x = 1$: $2(1)^3 - (1)^2 + 1 + 1 = 2 - 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$.
При $x = -1$: $2(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 - 1 + 1 = -3 \neq 0$.
При $x = \frac{1}{2}$: $2(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = 2(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \neq 0$.
При $x = -\frac{1}{2}$: $2(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 2(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0$.
Таким образом, $x = -1/2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $2x^3 - x^2 + x + 1$ делится на $(x + 1/2)$ или, что удобнее, на $(2x+1)$. Выполним деление многочлена в столбик:
$(2x^3 - x^2 + x + 1) \div (2x+1) = x^2 - x + 1$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$(2x+1)(x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:
1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.
2) $x^2 - x + 1 = 0$.
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
Поскольку $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.
Ответ: $x = -1/2$.
б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$
Применим тот же метод. Свободный член равен 1, старший коэффициент — 10.
Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.
Делители старшего коэффициента (10): $q \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \}$.
Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10} \}$.
Проверим некоторые из них:
При $x = -1/2$: $10(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 10(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + 1 + 1 = -\frac{5}{4} - \frac{3}{4} + 2 = -\frac{8}{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.
Мы нашли корень $x = -1/2$. Разделим многочлен $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ на $(2x+1)$:
$(10x^3 - 3x^2 - 2x + 1) \div (2x+1) = 5x^2 - 4x + 1$.
Уравнение принимает вид:
$(2x+1)(5x^2 - 4x + 1) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.
2) $5x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-4)^2 - 4(5)(1) = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Таким образом, у исходного уравнения только один действительный корень.
Ответ: $x = -1/2$.
в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0$
Это уравнение четвертой степени. Ищем рациональные корни. Свободный член равен -2, старший коэффициент — 1.
Делители свободного члена (-2): $p \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.
Делители старшего коэффициента (1): $q \in \{ \pm 1 \}$.
Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.
Проверим их:
При $x = 1$: $1^4 + 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = 1$.
При $x = -1$: $(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = -1$.
Так как $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(x-1)(x+1) = x^2-1$. Выполним деление:
$(x^4 + x^3 + x^2 - x - 2) \div (x^2 - 1) = x^2 + x + 2$.
Уравнение можно переписать в виде:
$(x-1)(x+1)(x^2 + x + 2) = 0$.
Решениями являются корни каждого множителя:
1) $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
2) $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
3) $x^2 + x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного трехчлена нет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0$
Ищем рациональные корни уравнения. Свободный член равен -6, старший коэффициент — 2.
Делители свободного члена (-6): $p \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.
Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.
Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \}$.
Проверим некоторые из них:
При $x = 1/2$: $2(\frac{1}{2})^4 + 7(\frac{1}{2})^3 + 6(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 6 = 2(\frac{1}{16}) + 7(\frac{1}{8}) + 6(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 6 = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{12}{8} + \frac{28}{8} - \frac{48}{8} = \frac{1+7+12+28-48}{8} = \frac{0}{8} = 0$. Корень найден: $x = 1/2$.
При $x = -3$: $2(-3)^4 + 7(-3)^3 + 6(-3)^2 + 7(-3) - 6 = 2(81) + 7(-27) + 6(9) - 21 - 6 = 162 - 189 + 54 - 21 - 6 = 216 - 216 = 0$. Корень найден: $x = -3$.
Поскольку $x = 1/2$ и $x = -3$ — корни, многочлен делится на $(x - 1/2)$ и $(x+3)$, а значит и на их произведение $(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.
Выполним деление многочленов:
$(2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6) \div (2x^2 + 5x - 3) = x^2 + x + 2$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(2x-1)(x+3)(x^2 + x + 2) = 0$.
Корни уравнения:
1) $2x-1 = 0 \Rightarrow x = 1/2$.
2) $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
3) $x^2 + x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Исходное уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_2 = -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 104 расположенного на странице 326 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №104 (с. 326), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.