Номер 108, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 108, страница 327.

Условие.

108. a) $x^4 - 2x^3 + \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 = 0;$

б) $2x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0;$

в) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0;$

г) $x^4 - 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^4 - 2x^3 + \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 = 0$
Это симметричное (возвратное) уравнение, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $1 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:
$x^2 - 2x + \frac{3}{4} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + \frac{3}{4} = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 2) - 2y + \frac{3}{4} = 0$
$y^2 - 2y - \frac{5}{4} = 0$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби: $4y^2 - 8y - 5 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$y_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{8}$
$y_1 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{8 - 12}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 + 2 = 5x \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2) $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 + 2 = -x \Rightarrow 2x^2 + x + 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $x_1=2, x_2=\frac{1}{2}$.

б) $2x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0$
Это также симметричное уравнение. Так как $x=0$ не корень, делим уравнение на $x^2$:
$2x^2 + x - 3 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 3 = 0$
Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$2(y^2 - 2) + y - 3 = 0$
$2y^2 - 4 + y - 3 = 0$
$2y^2 + y - 7 = 0$
Найдем корни по формуле: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Вернемся к переменной $x$. Уравнение $x + \frac{1}{x} = y$ или $x^2 - yx + 1 = 0$ имеет действительные корни только при $|y| \ge 2$.
1) $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 < \sqrt{57} < 8$, то $6 < -1+\sqrt{57} < 7$, и $\frac{6}{4} < y_1 < \frac{7}{4}$. То есть $1.5 < y_1 < 1.75$. Поскольку $|y_1| < 2$, уравнение $x + \frac{1}{x} = y_1$ не имеет действительных корней.
2) $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$. Так как $-8 < -\sqrt{57} < -7$, то $-9 < -1-\sqrt{57} < -8$, и $-\frac{9}{4} < y_2 < -\frac{8}{4}$. То есть $-2.25 < y_2 < -2$. Поскольку $|y_2| > 2$, уравнение $x + \frac{1}{x} = y_2$ имеет два действительных корня.
Решим уравнение $x^2 - (\frac{-1 - \sqrt{57}}{4})x + 1 = 0$.
$x^2 + \frac{1 + \sqrt{57}}{4}x + 1 = 0$.
$4x^2 + (1 + \sqrt{57})x + 4 = 0$.
$D_x = (1+\sqrt{57})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1 + 2\sqrt{57} + 57 - 64 = 2\sqrt{57} - 6$. Так как $(2\sqrt{57})^2 = 4 \cdot 57 = 228$, а $6^2=36$, то $D_x > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-(1+\sqrt{57}) \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8} = \frac{-1-\sqrt{57} \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8}$.
Ответ: $x = \frac{-1-\sqrt{57} \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8}$.

в) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$
Попробуем представить левую часть уравнения как полный квадрат. Выражение $x^4 - 2x^3$ наводит на мысль о квадрате $(x^2-x)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$.
Перепишем исходное уравнение, выделив этот квадрат:
$(x^4 - 2x^3 + x^2) - x^2 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x^2 - x)^2 - 4x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) + 4 = 0$
Это выражение является полным квадратом относительно $(x^2-x)$. Пусть $y = x^2 - x$.
$y^2 - 4y + 4 = 0$
$(y-2)^2 = 0$
Отсюда $y=2$.
Сделаем обратную замену:
$x^2 - x = 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Исходное уравнение можно записать как $(x^2 - x - 2)^2 = 0$, поэтому каждый корень имеет кратность 2.
Ответ: $x_1=x_2=-1$, $x_3=x_4=2$.

г) $x^4 - 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0$
Это уравнение не является симметричным, но его можно свести к квадратному. Это так называемое квазивозвратное уравнение. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2$:
$x^2 - 4x - 18 - \frac{12}{x} + \frac{9}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{9}{x^2}) - 4(x + \frac{3}{x}) - 18 = 0$
Сделаем замену $y = x + \frac{3}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{3}{x})^2 = x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{9}{x^2} = y^2 - 6$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 6) - 4y - 18 = 0$
$y^2 - 4y - 24 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 16 + 96 = 112 = 16 \cdot 7$.
$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{7}$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x + \frac{3}{x} = 2 + 2\sqrt{7}$. Умножим на $x$: $x^2 - (2+2\sqrt{7})x + 3 = 0$.
$D_x = (-(2+2\sqrt{7}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = (2+2\sqrt{7})^2 - 12 = 4(1+\sqrt{7})^2 - 12 = 4(1+2\sqrt{7}+7) - 12 = 4(8+2\sqrt{7}) - 12 = 32+8\sqrt{7}-12 = 20+8\sqrt{7}$.
Так как $D_x > 0$, есть два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{2+2\sqrt{7} \pm \sqrt{20+8\sqrt{7}}}{2} = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{\frac{20+8\sqrt{7}}{4}} = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}$.
2) $x + \frac{3}{x} = 2 - 2\sqrt{7}$. Умножим на $x$: $x^2 - (2-2\sqrt{7})x + 3 = 0$.
$D_x = (-(2-2\sqrt{7}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = (2-2\sqrt{7})^2 - 12 = 20 - 8\sqrt{7}$.
Так как $(8\sqrt{7})^2 = 64 \cdot 7 = 448$, а $20^2=400$, то $20 - 8\sqrt{7} < 0$. Действительных корней в этом случае нет.
Ответ: $x = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}$.