Номер 111, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 111, страница 327.

Условие.

111. a) $2 (x^2 + x + 1)^2 - 7 (x - 1)^2 = 13 (x^3 - 1)$;

б) $(x^2 - x + 1)^2 + 2 (x^3 + 1) = (x + 1)^2$.

Решение 5.

а) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1)$

Заметим, что выражение $x^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложено на множители: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Подставим это разложение в исходное уравнение:

$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Введем замену переменных для упрощения уравнения. Пусть $a = x^2 + x + 1$ и $b = x - 1$. Тогда уравнение принимает вид:

$2a^2 - 7b^2 = 13ab$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное квадратное уравнение:

$2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$

Проверим, является ли $b = 0$ решением. Если $b = x - 1 = 0$, то $x = 1$. Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$2(1^2 + 1 + 1)^2 - 7(1 - 1)^2 = 13(1^3 - 1)$

$2(3)^2 - 7(0)^2 = 13(0)$

$18 = 0$

Равенство неверно, следовательно $x = 1$ не является корнем, а значит $b \neq 0$.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$ на $b^2$:

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 13\left(\frac{a}{b}\right) - 7 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$. Уравнение становится стандартным квадратным уравнением:

$2t^2 - 13t - 7 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$t = \frac{13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 15}{4}$

Отсюда получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7$

$t_2 = \frac{13 - 15}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = 7$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = 7$

$x^2 + x + 1 = 7(x - 1)$

$x^2 + x + 1 = 7x - 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$

$2(x^2 + x + 1) = -(x - 1)$

$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$x_3 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_4 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-1; -\frac{1}{2}; 2; 4\}$.

б) $(x^2 - x + 1)^2 + 2(x^3 + 1) = (x + 1)^2$

Заметим, что выражение $x^3 + 1$ является суммой кубов и может быть разложено на множители: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Подставим это разложение в исходное уравнение:

$(x^2 - x + 1)^2 + 2(x + 1)(x^2 - x + 1) = (x + 1)^2$

Введем замену переменных. Пусть $a = x^2 - x + 1$ и $b = x + 1$. Уравнение примет вид:

$a^2 + 2ab = b^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$a^2 + 2ab - b^2 = 0$

Проверим, является ли $b = 0$ решением. Если $b = x + 1 = 0$, то $x = -1$. Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - (-1) + 1)^2 + 2((-1)^3 + 1) = (-1 + 1)^2$

$(1 + 1 + 1)^2 + 2(-1 + 1) = 0^2$

$3^2 + 2(0) = 0$

$9 = 0$

Равенство неверно, следовательно $x = -1$ не является корнем, а значит $b \neq 0$.

Разделим обе части уравнения $a^2 + 2ab - b^2 = 0$ на $b^2$ (так как $b \neq 0$):

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + 2\left(\frac{a}{b}\right) - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$D = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Теперь вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $t = -1 + \sqrt{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = -1 + \sqrt{2}$

$x^2 - x + 1 = (-1 + \sqrt{2})(x + 1)$

$x^2 - x + 1 = (-1 + \sqrt{2})x - 1 + \sqrt{2}$

$x^2 - (1 - 1 + \sqrt{2})x + (1 + 1 - \sqrt{2}) = 0$

$x^2 - \sqrt{2}x + (2 - \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = (-\sqrt{2})^2 - 4(1)(2 - \sqrt{2}) = 2 - 8 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 6$

Сравним $4\sqrt{2}$ и $6$. $(4\sqrt{2})^2 = 32$, а $6^2 = 36$. Так как $32 < 36$, то $4\sqrt{2} < 6$, и, следовательно, $D_x < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -1 - \sqrt{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = -1 - \sqrt{2}$

$x^2 - x + 1 = (-1 - \sqrt{2})(x + 1)$

$x^2 - x + 1 = (-1 - \sqrt{2})x - 1 - \sqrt{2}$

$x^2 + (-1 + 1 + \sqrt{2})x + (1 + 1 + \sqrt{2}) = 0$

$x^2 + \sqrt{2}x + (2 + \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант:

$D_x = (\sqrt{2})^2 - 4(1)(2 + \sqrt{2}) = 2 - 8 - 4\sqrt{2} = -6 - 4\sqrt{2}$

Поскольку $4\sqrt{2} > 0$, то $D_x$ очевидно отрицателен. В этом случае также нет действительных корней.

Так как ни в одном из случаев мы не получили действительных решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.