Номер 117, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 117, страница 327.

Условие.

117. a) $x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0;$

б) $x^{12} - x^{9} + x^{4} - x + 1 < 0.$

Решение 5.

а) Рассмотрим неравенство $x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^7 + x^2 - x + 1 > 0$.

Обозначим левую часть неравенства как $P(x) = x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^7 + x^2 - x + 1$. Разобьем решение на три случая в зависимости от значения $x$.

1. Пусть $x \ge 1$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$P(x) = (x^{18} - x^{13}) + (x^{10} - x^7) + (x^2 - x) + 1 = x^{13}(x^5 - 1) + x^7(x^3 - 1) + x(x - 1) + 1$.

Поскольку $x \ge 1$, то $x^5 - 1 \ge 0$, $x^3 - 1 \ge 0$, и $x - 1 \ge 0$. Также $x^{13} > 0$, $x^7 > 0$ и $x > 0$.

Следовательно, каждое из произведений $x^{13}(x^5 - 1)$, $x^7(x^3 - 1)$ и $x(x - 1)$ является неотрицательным. Сумма нескольких неотрицательных слагаемых и положительного числа 1 всегда будет положительной.

Таким образом, $P(x) \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1$, то есть $P(x) > 0$.

2. Пусть $0 \le x < 1$. В этом случае применим другую группировку:

$P(x) = x^{18} + (x^{10} - x^{13}) + (x^2 - x^7) + (1 - x) = x^{18} + x^{10}(1 - x^3) + x^2(1 - x^5) + (1 - x)$.

Для $0 \le x < 1$ справедливы следующие неравенства: $x^{18} \ge 0$, $x^{10} \ge 0$, $1 - x^3 > 0$, $x^2 \ge 0$, $1 - x^5 > 0$ и $1 - x > 0$.

Все слагаемые в выражении $x^{18} + x^{10}(1 - x^3) + x^2(1 - x^5) + (1 - x)$ неотрицательны, а последнее слагаемое $(1 - x)$ строго положительно. Следовательно, их сумма $P(x)$ также строго положительна.

3. Пусть $x < 0$. Сделаем замену $x = -y$, где $y > 0$.

$P(x) = P(-y) = (-y)^{18} - (-y)^{13} + (-y)^{10} - (-y)^7 + (-y)^2 - (-y) + 1 = y^{18} + y^{13} + y^{10} + y^7 + y^2 + y + 1$.

Так как $y > 0$, все степени $y$ положительны. Таким образом, $P(x)$ представляет собой сумму семи положительных слагаемых, результат которой очевидно положителен.

Мы показали, что выражение в левой части неравенства положительно при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 < 0$.

Обозначим левую часть как $Q(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$. Проанализируем это выражение для различных значений $x$.

1. Пусть $x \ge 1$. Сгруппируем слагаемые:

$Q(x) = (x^{12} - x^9) + (x^4 - x) + 1 = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.

При $x \ge 1$, выражение $x^3 - 1 \ge 0$. Так как $x^9 > 0$ и $x > 0$, слагаемые $x^9(x^3 - 1)$ и $x(x^3 - 1)$ неотрицательны.

Следовательно, $Q(x) \ge 0 + 0 + 1 = 1$. В этом случае $Q(x)$ не может быть меньше нуля.

2. Пусть $0 \le x < 1$. Используем другую группировку:

$Q(x) = x^{12} + (x^4 - x^9) + (1 - x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$.

При $0 \le x < 1$ справедливы неравенства: $x^{12} \ge 0$, $x^4 \ge 0$, $1 - x^5 > 0$ и $1 - x > 0$.

Таким образом, слагаемые $x^{12}$ и $x^4(1-x^5)$ неотрицательны, а слагаемое $(1-x)$ строго положительно. Их сумма $Q(x)$ всегда будет строго положительной. Значит, и в этом случае $Q(x)$ не может быть меньше нуля.

3. Пусть $x < 0$. Сделаем замену $x = -y$, где $y > 0$.

$Q(x) = Q(-y) = (-y)^{12} - (-y)^9 + (-y)^4 - (-y) + 1 = y^{12} + y^9 + y^4 + y + 1$.

Поскольку $y > 0$, все слагаемые в правой части положительны. Их сумма, очевидно, больше нуля.

Таким образом, мы показали, что выражение $Q(x)$ положительно при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $Q(x) < 0$ не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).