Номер 116, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 116, страница 327.
№116 (с. 327)
Условие. №116 (с. 327)
скриншот условия

116. a) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0;
б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17.
Решение 5. №116 (с. 327)
а) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0$
Данное неравенство содержит симметричный многочлен четвёртой степени, так как его коэффициенты (1, 3, 2, 3, 1) симметричны.
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 = 0$, так как при подстановке $x=0$ получаем $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить левую часть неравенства на $x^2$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, знак неравенства не изменится.
$x^2 + 3x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} > 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (3x + \frac{3}{x}) + 2 > 0$
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) + 2 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим в неравенство:
$(y^2 - 2) + 3y + 2 > 0$
$y^2 + 3y > 0$
Это неравенство можно представить в виде $(x^2+1)(x^2+3x+1) > 0$. Множитель $(x^2+1)$ всегда положителен при любых действительных $x$. Следовательно, неравенство равносильно следующему:
$x^2 + 3x + 1 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.
Парабола $y = x^2 + 3x + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому трехчлен принимает положительные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства:
$x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$
б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17$
Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения после раскрытия скобок. Заметим, что $(-1) + (-6) = -7$ и $(-3) + (-4) = -7$. Поэтому перемножим первую скобку с четвертой, а вторую с третьей.
$[(x - 1)(x - 6)] \cdot [(x - 3)(x - 4)] \geq 17$
$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 7x + 12) \geq 17$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 7x$. Тогда неравенство примет вид:
$(t + 6)(t + 12) \geq 17$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 + 12t + 6t + 72 \geq 17$
$t^2 + 18t + 55 \geq 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + 18t + 55 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом:
$t_{1,2} = -9 \pm \sqrt{9^2 - 55} = -9 \pm \sqrt{81 - 55} = -9 \pm \sqrt{26}$.
Парабола $y = t^2 + 18t + 55$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:
$t \leq -9 - \sqrt{26}$ или $t \geq -9 + \sqrt{26}$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $x^2 - 7x \leq -9 - \sqrt{26}$
$x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:
$D_x = (-7)^2 - 4(9 + \sqrt{26}) = 49 - 36 - 4\sqrt{26} = 13 - 4\sqrt{26}$.
Так как $\sqrt{26} > \sqrt{16/9 \cdot 13/4}$, нет, проще: $\sqrt{26} > \sqrt{25}=5$, то $4\sqrt{26} > 20$.
Следовательно, $D_x = 13 - 4\sqrt{26} < 13 - 20 = -7 < 0$.
Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26}$ всегда положителен. Значит, неравенство $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$ не имеет действительных решений.
Случай 2: $x^2 - 7x \geq -9 + \sqrt{26}$
$x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} \geq 0$
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:
$D_x = (-7)^2 - 4(9 - \sqrt{26}) = 49 - 36 + 4\sqrt{26} = 13 + 4\sqrt{26}$.
Так как $D_x > 0$, уравнение $x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} = 0$ имеет два корня:
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26}$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
$x \leq \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$ или $x \geq \frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.
Это и есть решение исходного неравенства.
Ответ: $(-\infty, \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}, \infty)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 116 расположенного на странице 327 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №116 (с. 327), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.