Номер 116, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 116, страница 327.

Условие.

116. a) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0;

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17.

Решение 5.

а) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0$

Данное неравенство содержит симметричный многочлен четвёртой степени, так как его коэффициенты (1, 3, 2, 3, 1) симметричны.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 = 0$, так как при подстановке $x=0$ получаем $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить левую часть неравенства на $x^2$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, знак неравенства не изменится.

$x^2 + 3x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} > 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (3x + \frac{3}{x}) + 2 > 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) + 2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в неравенство:

$(y^2 - 2) + 3y + 2 > 0$

$y^2 + 3y > 0$

Это неравенство можно представить в виде $(x^2+1)(x^2+3x+1) > 0$. Множитель $(x^2+1)$ всегда положителен при любых действительных $x$. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$x^2 + 3x + 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому трехчлен принимает положительные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

$x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17$

Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения после раскрытия скобок. Заметим, что $(-1) + (-6) = -7$ и $(-3) + (-4) = -7$. Поэтому перемножим первую скобку с четвертой, а вторую с третьей.

$[(x - 1)(x - 6)] \cdot [(x - 3)(x - 4)] \geq 17$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 7x + 12) \geq 17$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 7x$. Тогда неравенство примет вид:

$(t + 6)(t + 12) \geq 17$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 12t + 6t + 72 \geq 17$

$t^2 + 18t + 55 \geq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 18t + 55 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом:

$t_{1,2} = -9 \pm \sqrt{9^2 - 55} = -9 \pm \sqrt{81 - 55} = -9 \pm \sqrt{26}$.

Парабола $y = t^2 + 18t + 55$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \leq -9 - \sqrt{26}$ или $t \geq -9 + \sqrt{26}$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $x^2 - 7x \leq -9 - \sqrt{26}$

$x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D_x = (-7)^2 - 4(9 + \sqrt{26}) = 49 - 36 - 4\sqrt{26} = 13 - 4\sqrt{26}$.

Так как $\sqrt{26} > \sqrt{16/9 \cdot 13/4}$, нет, проще: $\sqrt{26} > \sqrt{25}=5$, то $4\sqrt{26} > 20$.

Следовательно, $D_x = 13 - 4\sqrt{26} < 13 - 20 = -7 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26}$ всегда положителен. Значит, неравенство $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$ не имеет действительных решений.

Случай 2: $x^2 - 7x \geq -9 + \sqrt{26}$

$x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} \geq 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D_x = (-7)^2 - 4(9 - \sqrt{26}) = 49 - 36 + 4\sqrt{26} = 13 + 4\sqrt{26}$.

Так как $D_x > 0$, уравнение $x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} = 0$ имеет два корня:

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.

Парабола $y = x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26}$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \leq \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$ или $x \geq \frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.

Это и есть решение исходного неравенства.

Ответ: $(-\infty, \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}, \infty)$