Номер 122, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 122, страница 328.

Условие.

122. $(a + b) (a^3 + b^3) \le 2 (a^4 + b^4).$

Решение 5.

Для доказательства неравенства $(a + b)(a^3 + b^3) \le 2(a^4 + b^4)$ преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону и упростив выражение.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(a + b)(a^3 + b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot b^3 + b \cdot a^3 + b \cdot b^3 = a^4 + ab^3 + a^3b + b^4$.

Правая часть: $2(a^4 + b^4) = 2a^4 + 2b^4$.

Подставим раскрытые выражения обратно в неравенство:

$a^4 + ab^3 + a^3b + b^4 \le 2a^4 + 2b^4$

Перенесем все члены из левой части в правую:

$0 \le 2a^4 + 2b^4 - (a^4 + ab^3 + a^3b + b^4)$

$0 \le 2a^4 + 2b^4 - a^4 - ab^3 - a^3b - b^4$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \le (2a^4 - a^4) + (2b^4 - b^4) - a^3b - ab^3$

$0 \le a^4 + b^4 - a^3b - ab^3$

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно неравенству $a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 \ge 0$. Теперь докажем справедливость этого неравенства.

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

$(a^4 - a^3b) - (ab^3 - b^4) \ge 0$

$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$

$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

Рассмотрим каждый множитель в полученном выражении:

1. Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(a - b)^2 \ge 0$.

2. Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также всегда неотрицателен. Это можно показать, выделив полный квадрат:

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + b^2 - \frac{b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$.

Так как $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$, их сумма также всегда неотрицательна: $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $b=0$ и $a=0$.

Поскольку выражение $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2)$ является произведением двух неотрицательных множителей, оно само всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$ верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Это доказывает справедливость исходного неравенства $(a + b)(a^3 + b^3) \le 2(a^4 + b^4)$.

Равенство в неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) = 0$. Это возможно, если один из множителей равен нулю:

1. $(a - b)^2 = 0$, что означает $a = b$.

2. $a^2 + ab + b^2 = 0$, что, как было показано, возможно только при $a = 0$ и $b = 0$. Этот случай является частным случаем $a=b$.

Следовательно, равенство имеет место при $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано. Путем алгебраических преобразований оно сводится к виду $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$, которое очевидно верно для всех действительных $a$ и $b$, так как оба множителя $(a - b)^2$ и $(a^2 + ab + b^2)$ всегда неотрицательны. Равенство достигается при $a = b$.