Номер 122, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 122, страница 328.
№122 (с. 328)
Условие. №122 (с. 328)
скриншот условия

122. $(a + b) (a^3 + b^3) \le 2 (a^4 + b^4).$
Решение 5. №122 (с. 328)
Для доказательства неравенства $(a + b)(a^3 + b^3) \le 2(a^4 + b^4)$ преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону и упростив выражение.
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $(a + b)(a^3 + b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot b^3 + b \cdot a^3 + b \cdot b^3 = a^4 + ab^3 + a^3b + b^4$.
Правая часть: $2(a^4 + b^4) = 2a^4 + 2b^4$.
Подставим раскрытые выражения обратно в неравенство:
$a^4 + ab^3 + a^3b + b^4 \le 2a^4 + 2b^4$
Перенесем все члены из левой части в правую:
$0 \le 2a^4 + 2b^4 - (a^4 + ab^3 + a^3b + b^4)$
$0 \le 2a^4 + 2b^4 - a^4 - ab^3 - a^3b - b^4$
Приведем подобные слагаемые:
$0 \le (2a^4 - a^4) + (2b^4 - b^4) - a^3b - ab^3$
$0 \le a^4 + b^4 - a^3b - ab^3$
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно неравенству $a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 \ge 0$. Теперь докажем справедливость этого неравенства.
Сгруппируем члены и вынесем общие множители:
$(a^4 - a^3b) - (ab^3 - b^4) \ge 0$
$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$
$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$
$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$
Рассмотрим каждый множитель в полученном выражении:
1. Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(a - b)^2 \ge 0$.
2. Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также всегда неотрицателен. Это можно показать, выделив полный квадрат:
$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + b^2 - \frac{b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$.
Так как $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$, их сумма также всегда неотрицательна: $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $b=0$ и $a=0$.
Поскольку выражение $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2)$ является произведением двух неотрицательных множителей, оно само всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$ верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.
Это доказывает справедливость исходного неравенства $(a + b)(a^3 + b^3) \le 2(a^4 + b^4)$.
Равенство в неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) = 0$. Это возможно, если один из множителей равен нулю:
1. $(a - b)^2 = 0$, что означает $a = b$.
2. $a^2 + ab + b^2 = 0$, что, как было показано, возможно только при $a = 0$ и $b = 0$. Этот случай является частным случаем $a=b$.
Следовательно, равенство имеет место при $a = b$.
Ответ: Неравенство доказано. Путем алгебраических преобразований оно сводится к виду $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$, которое очевидно верно для всех действительных $a$ и $b$, так как оба множителя $(a - b)^2$ и $(a^2 + ab + b^2)$ всегда неотрицательны. Равенство достигается при $a = b$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 122 расположенного на странице 328 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №122 (с. 328), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.