Номер 126, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 126, страница 328.

Условие.

126. a) $\begin{cases} u + v = 2, \\ |3u - v| = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} |x - 1| + |y - 2| = 1, \\ y + |x - 1| = 3. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} u + v = 2, \\ |3u - v| = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$ через $u$: $v = 2 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $|3u - (2 - u)| = 1$.

Упростим выражение под знаком модуля: $|3u - 2 + u| = 1$, $|4u - 2| = 1$.

Это уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений:

1) $4u - 2 = 1$. $4u = 3$, $u = \frac{3}{4}$. Найдем соответствующее значение $v$: $v = 2 - u = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$. Первое решение: $(u_1, v_1) = (\frac{3}{4}, \frac{5}{4})$.

2) $4u - 2 = -1$. $4u = 1$, $u = \frac{1}{4}$. Найдем соответствующее значение $v$: $v = 2 - u = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$. Второе решение: $(u_2, v_2) = (\frac{1}{4}, \frac{7}{4})$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{3}{4}, \frac{5}{4})$; $(\frac{1}{4}, \frac{7}{4})$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x - 1| + |y - 2| = 1, \\ y + |x - 1| = 3. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $|x - 1|$: $|x - 1| = 3 - y$.

Так как модуль числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $|x - 1| \ge 0$, следовательно, $3 - y \ge 0$, что означает $y \le 3$.

Подставим выражение для $|x - 1|$ в первое уравнение системы: $(3 - y) + |y - 2| = 1$.

Выразим $|y - 2|$: $|y - 2| = 1 - (3 - y)$, $|y - 2| = 1 - 3 + y$, $|y - 2| = y - 2$.

Равенство вида $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда $A \ge 0$. В нашем случае это означает, что $y - 2 \ge 0$, то есть $y \ge 2$.

Мы получили два условия для $y$: $y \le 3$ и $y \ge 2$. Объединяя их, получаем, что $y$ может принимать любое значение из отрезка $[2, 3]$, то есть $2 \le y \le 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$. Вернемся к уравнению $|x - 1| = 3 - y$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x - 1 = 3 - y$. Отсюда $x = 4 - y$.

2) $x - 1 = -(3 - y)$. $x - 1 = y - 3$, отсюда $x = y - 2$.

Таким образом, решениями системы являются все пары $(x, y)$, которые удовлетворяют условиям: $2 \le y \le 3$ и при этом либо $x = 4 - y$, либо $x = y - 2$.

Геометрически это множество точек представляет собой объединение двух отрезков на координатной плоскости:

- Отрезок прямой $x + y = 4$, концами которого являются точки, соответствующие $y=2$ и $y=3$. При $y=2$, $x = 4 - 2 = 2$, получаем точку $(2, 2)$. При $y=3$, $x = 4 - 3 = 1$, получаем точку $(1, 3)$. Это отрезок, соединяющий точки $(2, 2)$ и $(1, 3)$.

- Отрезок прямой $x - y = -2$, концами которого являются точки, соответствующие $y=2$ и $y=3$. При $y=2$, $x = 2 - 2 = 0$, получаем точку $(0, 2)$. При $y=3$, $x = 3 - 2 = 1$, получаем точку $(1, 3)$. Это отрезок, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(1, 3)$.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$, для которых $2 \le y \le 3$ и $x = 4 - y$, а также всех точек, для которых $2 \le y \le 3$ и $x = y - 2$. Это два отрезка, соединяющие точку $(1, 3)$ с точками $(2, 2)$ и $(0, 2)$.