Номер 130, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 130, страница 328.

Условие.

130. a)

$\begin{cases} x^2 - 2xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - 2x + y^2 = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = z, \\ y^2 + z^2 = 13x^2, \\ 2 (x^2 + z^2) = 2y^2. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - 2x + y^2 = 6; \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Мы можем решить его относительно $x$, рассматривая $y$ как параметр, или разложить на множители.

Разложим левую часть на множители:

$x^2 - 3xy + xy - 3y^2 = 0$

$x(x-3y) + y(x-3y) = 0$

$(x-3y)(x+y) = 0$

Отсюда следует, что либо $x-3y=0$, либо $x+y=0$. Таким образом, мы получаем два случая.

Случай 1: $x - 3y = 0$, то есть $x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(3y)^2 - 2(3y) + y^2 = 6$

$9y^2 - 6y + y^2 = 6$

$10y^2 - 6y - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$5y^2 - 3y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $y$ с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4(5)(-3) = 9 + 60 = 69$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{10}$

Если $y_1 = \frac{3 + \sqrt{69}}{10}$, то $x_1 = 3y_1 = \frac{3(3 + \sqrt{69})}{10} = \frac{9 + 3\sqrt{69}}{10}$.

Если $y_2 = \frac{3 - \sqrt{69}}{10}$, то $x_2 = 3y_2 = \frac{3(3 - \sqrt{69})}{10} = \frac{9 - 3\sqrt{69}}{10}$.

Случай 2: $x + y = 0$, то есть $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-y)^2 - 2(-y) + y^2 = 6$

$y^2 + 2y + y^2 = 6$

$2y^2 + 2y - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$y^2 + y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $y$ с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Если $y_3 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$, то $x_3 = -y_3 = -(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

Если $y_4 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$, то $x_4 = -y_4 = -(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}) = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $(\frac{9 + 3\sqrt{69}}{10}, \frac{3 + \sqrt{69}}{10})$; $(\frac{9 - 3\sqrt{69}}{10}, \frac{3 - \sqrt{69}}{10})$; $(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})$; $(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = z, \\ y^2 + z^2 = 13x^2, \\ 2(x^2 + z^2) = zy^2. \end{cases} $

Из первого уравнения $z = x+y$ подставим выражение для $z$ во второе уравнение:

$y^2 + (x+y)^2 = 13x^2$

$y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 13x^2$

$2y^2 + 2xy - 12x^2 = 0$

$y^2 + xy - 6x^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разложим его на множители:

$(y+3x)(y-2x) = 0$

Получаем два случая: $y = -3x$ или $y = 2x$.

Теперь подставим $z = x+y$ в третье уравнение:

$2(x^2 + (x+y)^2) = (x+y)y^2$

$2(x^2 + x^2 + 2xy + y^2) = (x+y)y^2$

$2(2x^2 + 2xy + y^2) = xy^2 + y^3$

$4x^2 + 4xy + 2y^2 = xy^2 + y^3$

Рассмотрим каждый из двух случаев.

Случай 1: $y=2x$.

Тогда $z = x+y = x+2x = 3x$. Подставим эти выражения в преобразованное третье уравнение:

$4x^2 + 4x(2x) + 2(2x)^2 = x(2x)^2 + (2x)^3$

$4x^2 + 8x^2 + 8x^2 = 4x^3 + 8x^3$

$20x^2 = 12x^3$

$12x^3 - 20x^2 = 0$

$4x^2(3x - 5) = 0$

Отсюда $x=0$ или $3x-5=0 \implies x = 5/3$.

Если $x=0$, то $y=2(0)=0$ и $z=3(0)=0$. Получаем решение $(0, 0, 0)$.

Если $x=5/3$, то $y=2(5/3)=10/3$ и $z=3(5/3)=5$. Получаем решение $(5/3, 10/3, 5)$.

Случай 2: $y=-3x$.

Тогда $z = x+y = x-3x = -2x$. Подставим эти выражения в преобразованное третье уравнение:

$4x^2 + 4x(-3x) + 2(-3x)^2 = x(-3x)^2 + (-3x)^3$

$4x^2 - 12x^2 + 18x^2 = 9x^3 - 27x^3$

$10x^2 = -18x^3$

$18x^3 + 10x^2 = 0$

$2x^2(9x + 5) = 0$

Отсюда $x=0$ или $9x+5=0 \implies x = -5/9$.

Если $x=0$, получаем уже найденное решение $(0, 0, 0)$.

Если $x=-5/9$, то $y=-3(-5/9)=5/3$ и $z=-2(-5/9)=10/9$. Получаем решение $(-5/9, 5/3, 10/9)$.

Проверка показывает, что все три найденных набора чисел являются решениями системы.

Ответ: $(0, 0, 0)$; $(5/3, 10/3, 5)$; $(-5/9, 5/3, 10/9)$.