Номер 136, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 136, страница 329.

Условие.

136. a) Сумма цифр трехзначного числа равна $17$, а сумма их квадратов $109$. Если из данного числа вычесть $495$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.
б) Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна $17$, а сумма квадратов цифр равна $109$.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a, b, c$ – его цифры. В виде числа оно записывается как $100a + 10b + c$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $\overline{cba}$ и равно $100c + 10b + a$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Сумма цифр: $a + b + c = 17$
2. Сумма квадратов цифр: $a^2 + b^2 + c^2 = 109$
3. Разность числа и его обратной записи: $(100a + 10b + c) - 495 = 100c + 10b + a$

Рассмотрим третье уравнение:

$100a + 10b + c - 495 = 100c + 10b + a$

$100a - a - 100c + c = 495$

$99a - 99c = 495$

$99(a - c) = 495$

$a - c = \frac{495}{99}$

$a - c = 5$, откуда $a = c + 5$.

Теперь подставим выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(c + 5) + b + c = 17$

$b + 2c + 5 = 17$

$b = 12 - 2c$.

Теперь у нас есть выражения для $a$ и $b$ через $c$. Подставим их во второе уравнение системы:

$a^2 + b^2 + c^2 = 109$

$(c + 5)^2 + (12 - 2c)^2 + c^2 = 109$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $c$:

$(c^2 + 10c + 25) + (144 - 48c + 4c^2) + c^2 = 109$

$6c^2 - 38c + 169 = 109$

$6c^2 - 38c + 60 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3c^2 - 19c + 30 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней: $c = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$.

$c = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

$c = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 360}}{6}$

$c = \frac{19 \pm \sqrt{1}}{6}$

$c = \frac{19 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $c$:

$c_1 = \frac{19+1}{6} = \frac{20}{6}$ (не является целым числом, поэтому не может быть цифрой).

$c_2 = \frac{19-1}{6} = \frac{18}{6} = 3$ (подходит, так как это целое число от 0 до 9).

Итак, мы нашли единственное возможное значение для цифры $c$: $c=3$.

Теперь найдем остальные цифры:

$a = c + 5 = 3 + 5 = 8$

$b = 12 - 2c = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$

Таким образом, цифры числа: $a=8, b=6, c=3$. Искомое число — 863.

Проверим: $8+6+3=17$; $8^2+6^2+3^2=64+36+9=109$; $863-495=368$. Все условия выполнены.

Ответ: 863.

б)

В этой части задачи нам нужно найти все трехзначные числа, для цифр которых $x, y, z$ выполняются два условия:

1. $x + y + z = 17$
2. $x^2 + y^2 + z^2 = 109$

Здесь $x, y, z$ – цифры, то есть целые числа от 0 до 9. Для трехзначного числа первая цифра не может быть нулем.

Для нахождения наборов цифр {x, y, z} будем перебирать возможные значения одной из цифр. Пусть $x$ — наибольшая из цифр. Тогда $x \ge y \ge z$.

Из $x+y+z=17$ следует, что $3x \ge 17$, то есть $x \ge 17/3 \approx 5.67$. Значит, $x$ может быть 6, 7, 8 или 9.

Рассмотрим каждый случай:

• Случай 1: $x = 9$
  $y + z = 17 - 9 = 8$
  $y^2 + z^2 = 109 - 9^2 = 109 - 81 = 28$
  Подставим $z = 8 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (8-y)^2 = 28$, что приводит к уравнению $y^2 - 8y + 18 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 18 = 64-72=-8 < 0$, целых решений нет.
• Случай 2: $x = 8$
  $y + z = 17 - 8 = 9$
  $y^2 + z^2 = 109 - 8^2 = 109 - 64 = 45$
  Подставим $z = 9 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (9-y)^2 = 45$, что приводит к уравнению $y^2 - 9y + 18 = 0$. Корни этого уравнения $y=6$ и $y=3$. Если $y=6$, то $z=3$. Получаем набор цифр {8, 6, 3}. Если $y=3$, то $z=6$. Получаем тот же набор цифр {8, 3, 6}. Этот набор удовлетворяет всем условиям.
• Случай 3: $x = 7$
  $y + z = 17 - 7 = 10$
  $y^2 + z^2 = 109 - 7^2 = 109 - 49 = 60$
  Подставим $z = 10 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (10-y)^2 = 60$, что приводит к уравнению $y^2 - 10y + 20 = 0$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 20 = 100-80=20$. Так как $\sqrt{20}$ не целое число, то целых решений для $y$ нет.
• Случай 4: $x = 6$
  $y + z = 17 - 6 = 11$
  $y^2 + z^2 = 109 - 6^2 = 109 - 36 = 73$
  Подставим $z = 11 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (11-y)^2 = 73$, что приводит к уравнению $y^2 - 11y + 24 = 0$. Корни этого уравнения $y=8$ и $y=3$. Оба варианта противоречат нашему предположению, что $x=6$ является наибольшей цифрой ($y \le x$).

Таким образом, единственный набор цифр, удовлетворяющий условиям, — это {3, 6, 8}.

Теперь нам нужно составить все возможные трехзначные числа из этих цифр. Поскольку 0 среди них нет, любая перестановка даст нам искомое число. Всего таких перестановок 3! = 6:

368, 386, 638, 683, 836, 863.

Ответ: 368, 386, 638, 683, 836, 863.