Номер 139, страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 139, страница 330.

Условие.

139. Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено несколько одинаковых книг и одинаковых значков. За книги заплатили 1056 р., за значки — 56 р. Книг купили на 6 штук больше, чем значков. Сколько было куплено книг? (Цены и книги, и значка в рублях — целые числа.)

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные:
$k$ — количество купленных книг;
$z$ — количество купленных значков;
$C_k$ — цена одной книги в рублях;
$C_z$ — цена одного значка в рублях.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:
1) Общая стоимость книг: $k \cdot C_k = 1056$
2) Общая стоимость значков: $z \cdot C_z = 56$
3) Количество книг на 6 штук больше, чем значков: $k = z + 6$
Также известно, что $k, z, C_k, C_z$ являются целыми положительными числами.

Из второго уравнения следует, что количество значков $z$ должно быть натуральным делителем числа 56, так как и количество, и цена значков — целые числа. Перечислим все натуральные делители числа 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Используя третье уравнение $k = z + 6$, найдем соответствующие возможные значения для количества книг $k$. Для каждого возможного $z$ получим $k$:
Если $z=1$, то $k = 1 + 6 = 7$.
Если $z=2$, то $k = 2 + 6 = 8$.
Если $z=4$, то $k = 4 + 6 = 10$.
Если $z=7$, то $k = 7 + 6 = 13$.
Если $z=8$, то $k = 8 + 6 = 14$.
Если $z=14$, то $k = 14 + 6 = 20$.
Если $z=28$, то $k = 28 + 6 = 34$.
Если $z=56$, то $k = 56 + 6 = 62$.

Из первого уравнения $k \cdot C_k = 1056$ следует, что количество книг $k$ должно быть делителем числа 1056, так как цена книги $C_k$ — целое число. Проверим, какие из найденных возможных значений $k$ являются делителями числа 1056.

Проверка:
$k=7$: $1056 \div 7 \approx 150.86$ (не целое).
$k=8$: $1056 \div 8 = 132$. Это целое число, следовательно, это возможное решение.
$k=10$: $1056$ не делится на 10 нацело.
$k=13$: $1056 \div 13 \approx 81.23$ (не целое).
$k=14$: $1056 \div 14 \approx 75.43$ (не целое).
$k=20$: $1056$ не делится на 20 нацело.
$k=34$: $1056 \div 34 \approx 31.06$ (не целое).
$k=62$: $1056 \div 62 \approx 17.03$ (не целое).

Единственное значение количества книг, которое удовлетворяет всем условиям, — это $k=8$.

Проверим найденное решение:
Количество книг $k=8$.
Количество значков $z = k - 6 = 8 - 6 = 2$.
Цена одной книги $C_k = 1056 \div 8 = 132$ рубля (целое число).
Цена одного значка $C_z = 56 \div 2 = 28$ рублей (целое число).
Все условия задачи выполнены.

Ответ: 8