Номер 138, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 138, страница 329.

Условие.

138. Три пункта $A$, $B$ и $C$ соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги $AB$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $\frac{1}{2}AB$, к отрезку дороги $BC$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $BC$, а к отрезку дороги $AC$ примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной $AC$, и шириной 4 км. Площадь леса на $20 \text{ км}^2$ больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

Решение 5.

Пусть длины дорог, соединяющих пункты A, B и C, равны $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$. Эти три отрезка образуют треугольник ABC, поэтому для их длин должны выполняться неравенства треугольника.

Определим площади участков согласно условию задачи:

1. Площадь квадратного поля, примыкающего к дороге AB, со стороной $\frac{1}{2}AB$:
$S_1 = (\frac{1}{2}c)^2 = \frac{c^2}{4}$

2. Площадь квадратного поля, примыкающего к дороге BC, со стороной $BC$:
$S_2 = a^2$

3. Площадь прямоугольного участка леса, примыкающего к дороге AC, с длиной $AC$ и шириной 4 км:
$S_{леса} = b \cdot 4 = 4b$

По условию, площадь леса на 20 км² больше суммы площадей квадратных полей. Запишем это в виде уравнения:

$S_{леса} = S_1 + S_2 + 20$

Подставим выражения для площадей:

$4b = \frac{c^2}{4} + a^2 + 20$

Длины $a$, $b$ и $c$ являются сторонами треугольника ABC, поэтому они должны удовлетворять неравенству треугольника, в частности:

$b \le a + c$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4b \le 4a + 4c$

Теперь заменим $4b$ выражением из нашего уравнения:

$\frac{c^2}{4} + a^2 + 20 \le 4a + 4c$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:

$(a^2 - 4a) + (\frac{c^2}{4} - 4c) + 20 \le 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

$(a^2 - 4a + 4) - 4 + (\frac{c^2}{4} - 4c + 16) - 16 + 20 \le 0$

$(a - 2)^2 + (\frac{c}{2} - 4)^2 \le 0$

Сумма двух квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, единственное возможное решение этого неравенства — это равенство нулю:

$(a - 2)^2 + (\frac{c}{2} - 4)^2 = 0$

Равенство возможно только в том случае, если оба слагаемых равны нулю:

$a - 2 = 0 \implies a = 2$ км

$\frac{c}{2} - 4 = 0 \implies \frac{c}{2} = 4 \implies c = 8$ км

Равенство нулю было получено из предположения, что неравенство треугольника $b \le a+c$ становится равенством $b = a+c$. Это означает, что точки A, B, C лежат на одной прямой, то есть образуют вырожденный треугольник.

Теперь мы можем найти длину $b$:

$b = a + c = 2 + 8 = 10$ км

Наконец, найдем площадь леса:

$S_{леса} = 4b = 4 \cdot 10 = 40$ км²

Ответ: Площадь леса равна 40 км².