Номер 145, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 145, страница 331.

Условие.

145. a) $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x - 1} = 1;$

б) $\sqrt[3]{10 - x} + \sqrt[3]{3 - x} = 1;$

B) $x + \sqrt[3]{x} = 2;$

г) $\sqrt[3]{9 - \sqrt{x + 1}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{x + 1}} = 4.$

Решение 3.

Решение 5.

а)Решим уравнение $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x-1} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставляем $x=1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{1} + \sqrt[3]{1-1} = 1 + \sqrt[3]{0} = 1 + 0 = 1$.
$1 = 1$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x-1}$. Эта функция является суммой двух возрастающих функций: $y_1 = \sqrt{x}$ (возрастает при $x \ge 0$) и $y_2 = \sqrt[3]{x-1}$ (возрастает на всей числовой оси). Сумма двух возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения, она может принимать каждое свое значение только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 1$ не может иметь более одного корня.
Мы нашли корень $x=1$, и он является единственным.
Ответ: $x=1$.

б)Решим уравнение $\sqrt[3]{10-x} + \sqrt[3]{3-x} = 1$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{10-x}$ и $b = \sqrt[3]{3-x}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=1$.
Возведем переменные $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = 10-x$
$b^3 = 3-x$
Вычтем второе уравнение из первого: $a^3 - b^3 = (10-x) - (3-x) = 10 - x - 3 + x = 7$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}a+b=1 \\a^3-b^3=7\end{cases}$
Разложим разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)=7$.
Из первого уравнения системы $a+b=1$ выразим $a=1-b$ и подставим во второе уравнение системы:
$(1-b)^3 - b^3 = 7$
$(1 - 3b + 3b^2 - b^3) - b^3 = 7$
$1 - 3b + 3b^2 - 2b^3 = 7$
$-2b^3 + 3b^2 - 3b - 6 = 0$
$2b^3 - 3b^2 + 3b + 6 = 0$
Это кубическое уравнение относительно $b$. Попытка найти рациональные корни среди делителей свободного члена (числа 6) не дает результата. Рассмотрим функцию $f(b) = 2b^3 - 3b^2 + 3b + 6$. Ее производная $f'(b) = 6b^2 - 6b + 3 = 3(2b^2 - 2b + 1)$. Дискриминант квадратного трехчлена $2b^2 - 2b + 1$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4-8 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2b^2 - 2b + 1 > 0$ для всех $b$. Следовательно, $f'(b) > 0$ для всех $b$, и функция $f(b)$ является строго возрастающей. Это означает, что уравнение $f(b)=0$ имеет ровно один действительный корень. Этот корень является иррациональным.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный иррациональный корень.(Примечание: вероятно, в условии задачи есть опечатка. Если бы правая часть уравнения была равна 3, то корень был бы $x=2$.)
Ответ: Уравнение имеет один иррациональный корень.

в)Решим уравнение $x + \sqrt[3]{x} = 2$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = t^3$.
Подставим замену в уравнение:
$t^3 + t = 2$
$t^3 + t - 2 = 0$
Это кубическое уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Проверим целые делители свободного члена (-2): $\pm1, \pm2$.
При $t=1$: $1^3 + 1 - 2 = 1+1-2=0$. Значит, $t=1$ является корнем.
Разделим многочлен $t^3 + t - 2$ на $(t-1)$:
$(t^3 + t - 2) : (t-1) = t^2+t+2$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(t-1)(t^2+t+2) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $t-1=0 \Rightarrow t=1$.
2) $t^2+t+2=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Единственным действительным решением для $t$ является $t=1$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt[3]{x} = 1$
Возведем обе части в куб:
$x = 1^3 = 1$.
Проверка: $1 + \sqrt[3]{1} = 1+1=2$. Верно.
Ответ: $x=1$.

г)Решим уравнение $\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}} + \sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}} = 4$.
ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}$ и $b = \sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=4$.
Возведем переменные $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = 9-\sqrt{x+1}$
$b^3 = 7+\sqrt{x+1}$
Сложим эти два выражения:
$a^3 + b^3 = (9-\sqrt{x+1}) + (7+\sqrt{x+1}) = 9+7=16$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}a+b=4 \\a^3+b^3=16\end{cases}$
Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $16 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2=4$.
Также возведем в квадрат первое уравнение системы: $(a+b)^2 = 4^2 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=16$.
Теперь имеем систему:
$\begin{cases}a^2+2ab+b^2=16 \\a^2-ab+b^2=4\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2) = 16-4$, что дает $3ab = 12$, откуда $ab=4$.
Теперь решаем систему:
$\begin{cases}a+b=4 \\ab=4\end{cases}$
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 4 = 0$.
Это уравнение сворачивается в $(t-2)^2=0$, откуда $t=2$.
Значит, $a=b=2$.
Вернемся к исходной переменной, используя, например, $a=2$:
$\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}} = 2$
Возведем обе части в куб:
$9-\sqrt{x+1} = 2^3 = 8$
$\sqrt{x+1} = 9-8 = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x+1 = 1^2 = 1$
$x=0$.
Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$).
Проверка: $\sqrt[3]{9-\sqrt{0+1}} + \sqrt[3]{7+\sqrt{0+1}} = \sqrt[3]{9-1} + \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2+2=4$. Верно.
Ответ: $x=0$.