Страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

145. a) $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x - 1} = 1;$

б) $\sqrt[3]{10 - x} + \sqrt[3]{3 - x} = 1;$

B) $x + \sqrt[3]{x} = 2;$

г) $\sqrt[3]{9 - \sqrt{x + 1}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{x + 1}} = 4.$

а)Решим уравнение $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x-1} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставляем $x=1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{1} + \sqrt[3]{1-1} = 1 + \sqrt[3]{0} = 1 + 0 = 1$.
$1 = 1$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x-1}$. Эта функция является суммой двух возрастающих функций: $y_1 = \sqrt{x}$ (возрастает при $x \ge 0$) и $y_2 = \sqrt[3]{x-1}$ (возрастает на всей числовой оси). Сумма двух возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения, она может принимать каждое свое значение только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 1$ не может иметь более одного корня.
Мы нашли корень $x=1$, и он является единственным.
Ответ: $x=1$.

б)Решим уравнение $\sqrt[3]{10-x} + \sqrt[3]{3-x} = 1$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{10-x}$ и $b = \sqrt[3]{3-x}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=1$.
Возведем переменные $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = 10-x$
$b^3 = 3-x$
Вычтем второе уравнение из первого: $a^3 - b^3 = (10-x) - (3-x) = 10 - x - 3 + x = 7$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}a+b=1 \\a^3-b^3=7\end{cases}$
Разложим разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)=7$.
Из первого уравнения системы $a+b=1$ выразим $a=1-b$ и подставим во второе уравнение системы:
$(1-b)^3 - b^3 = 7$
$(1 - 3b + 3b^2 - b^3) - b^3 = 7$
$1 - 3b + 3b^2 - 2b^3 = 7$
$-2b^3 + 3b^2 - 3b - 6 = 0$
$2b^3 - 3b^2 + 3b + 6 = 0$
Это кубическое уравнение относительно $b$. Попытка найти рациональные корни среди делителей свободного члена (числа 6) не дает результата. Рассмотрим функцию $f(b) = 2b^3 - 3b^2 + 3b + 6$. Ее производная $f'(b) = 6b^2 - 6b + 3 = 3(2b^2 - 2b + 1)$. Дискриминант квадратного трехчлена $2b^2 - 2b + 1$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4-8 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2b^2 - 2b + 1 > 0$ для всех $b$. Следовательно, $f'(b) > 0$ для всех $b$, и функция $f(b)$ является строго возрастающей. Это означает, что уравнение $f(b)=0$ имеет ровно один действительный корень. Этот корень является иррациональным.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный иррациональный корень.(Примечание: вероятно, в условии задачи есть опечатка. Если бы правая часть уравнения была равна 3, то корень был бы $x=2$.)
Ответ: Уравнение имеет один иррациональный корень.

в)Решим уравнение $x + \sqrt[3]{x} = 2$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = t^3$.
Подставим замену в уравнение:
$t^3 + t = 2$
$t^3 + t - 2 = 0$
Это кубическое уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Проверим целые делители свободного члена (-2): $\pm1, \pm2$.
При $t=1$: $1^3 + 1 - 2 = 1+1-2=0$. Значит, $t=1$ является корнем.
Разделим многочлен $t^3 + t - 2$ на $(t-1)$:
$(t^3 + t - 2) : (t-1) = t^2+t+2$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(t-1)(t^2+t+2) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $t-1=0 \Rightarrow t=1$.
2) $t^2+t+2=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Единственным действительным решением для $t$ является $t=1$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt[3]{x} = 1$
Возведем обе части в куб:
$x = 1^3 = 1$.
Проверка: $1 + \sqrt[3]{1} = 1+1=2$. Верно.
Ответ: $x=1$.

г)Решим уравнение $\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}} + \sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}} = 4$.
ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}$ и $b = \sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=4$.
Возведем переменные $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = 9-\sqrt{x+1}$
$b^3 = 7+\sqrt{x+1}$
Сложим эти два выражения:
$a^3 + b^3 = (9-\sqrt{x+1}) + (7+\sqrt{x+1}) = 9+7=16$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}a+b=4 \\a^3+b^3=16\end{cases}$
Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $16 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2=4$.
Также возведем в квадрат первое уравнение системы: $(a+b)^2 = 4^2 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=16$.
Теперь имеем систему:
$\begin{cases}a^2+2ab+b^2=16 \\a^2-ab+b^2=4\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2) = 16-4$, что дает $3ab = 12$, откуда $ab=4$.
Теперь решаем систему:
$\begin{cases}a+b=4 \\ab=4\end{cases}$
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 4 = 0$.
Это уравнение сворачивается в $(t-2)^2=0$, откуда $t=2$.
Значит, $a=b=2$.
Вернемся к исходной переменной, используя, например, $a=2$:
$\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}} = 2$
Возведем обе части в куб:
$9-\sqrt{x+1} = 2^3 = 8$
$\sqrt{x+1} = 9-8 = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x+1 = 1^2 = 1$
$x=0$.
Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$).
Проверка: $\sqrt[3]{9-\sqrt{0+1}} + \sqrt[3]{7+\sqrt{0+1}} = \sqrt[3]{9-1} + \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2+2=4$. Верно.
Ответ: $x=0$.

146. a) $\sqrt{1 + \cos x} = \sin x;$

Б) $\sqrt{4 - 3 \cos x} = -2 \cos x;$

б) $\sqrt{1 - 2 \cos x} = \sin x;$

Г) $\sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x.$

а) $\sqrt{1 + \cos x} = \sin x$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ge 0, \\ 1 + \cos x = \sin^2 x. \end{cases} $$ Первое условие, $\sin x \ge 0$, является областью допустимых значений (ОДЗ), так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Второе условие, $1 + \cos x \ge 0$, выполняется для всех $x$, так как $-1 \le \cos x \le 1$.

Решим второе уравнение системы: $1 + \cos x = \sin^2 x$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 + \cos x = 1 - \cos^2 x$ $\cos^2 x + \cos x = 0$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x (1 + \cos x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $\cos x = 0$ 2) $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $\sin x \ge 0$.

1) Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (нечетные четверти), $\sin x = 1$. Так как $1 \ge 0$, эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (четные четверти), $\sin x = -1$. Так как $-1 < 0$, эти корни не подходят. Следовательно, из этой группы корней подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$. Так как $0 \ge 0$, эти корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pi + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{1 - 2 \cos x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ge 0, \\ 1 - 2 \cos x \ge 0, \\ 1 - 2 \cos x = \sin^2 x. \end{cases} $$ Из второго неравенства получаем $\cos x \le \frac{1}{2}$.

Решим уравнение $1 - 2 \cos x = \sin^2 x$. Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 - 2 \cos x = 1 - \cos^2 x$ $\cos^2 x - 2 \cos x = 0$ $\cos x (\cos x - 2) = 0$ Получаем два случая: 1) $\cos x = 0$ 2) $\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos x| \le 1$.

Рассмотрим случай $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения по условиям ОДЗ: $\sin x \ge 0$ и $\cos x \le \frac{1}{2}$.
Условие $\cos x = 0$ удовлетворяет неравенству $0 \le \frac{1}{2}$.

Проверим условие $\sin x \ge 0$:
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = 1$. Так как $1 \ge 0$, эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = -1$. Так как $-1 < 0$, эти корни не подходят.

Следовательно, решением является только одна серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{4 - 3 \cos x} = -2 \cos x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -2 \cos x \ge 0, \\ 4 - 3 \cos x = (-2 \cos x)^2. \end{cases} $$ Подкоренное выражение $4 - 3 \cos x$ всегда положительно, так как $-1 \le \cos x \le 1 \implies -3 \le 3 \cos x \le 3 \implies 1 \le 4 - 3 \cos x \le 7$.

Из первого неравенства системы получаем ОДЗ: $\cos x \le 0$.

Решим второе уравнение: $4 - 3 \cos x = 4 \cos^2 x$ $4 \cos^2 x + 3 \cos x - 4 = 0$ Сделаем замену $t = \cos x$. Учитываем, что $-1 \le t \le 1$ и $t \le 0$. $4t^2 + 3t - 4 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения по формуле: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73$ $t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$

Рассмотрим каждый корень: 1) $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$. Так как $\sqrt{73} \approx 8.5$, то $t_1 \approx \frac{-3 + 8.5}{8} = \frac{5.5}{8} > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \le 0$.

2) $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$. Так как $8 < \sqrt{73} < 9$, то $-3 - 9 < -3 - \sqrt{73} < -3 - 8$, что дает $-12 < -3 - \sqrt{73} < -11$. Тогда $\frac{-12}{8} < t_2 < \frac{-11}{8}$, или $-1.5 < t_2 < -1.375$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $t_2 < -1$.

Так как ни один из корней квадратного уравнения не является допустимым значением для $\cos x$, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $\sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -2 \sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0, \\ 2 \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \ge 0, \\ 2 \sin 2x = (-2 \sin x)^2. \end{cases} $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Решим уравнение $2(2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x$: $4 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x$ $4 \sin x \cos x - 4 \sin^2 x = 0$ $4 \sin x (\cos x - \sin x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $\sin x = 0$ 2) $\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x$

Проверим решения на соответствие ОДЗ: $\sin x \le 0$ и $\sin 2x \ge 0$.

1) Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверка ОДЗ: $\sin(\pi n) = 0$, что удовлетворяет условию $\sin x \le 0$. $\sin(2\pi n) = 0$, что удовлетворяет условию $\sin 2x \ge 0$. Следовательно, $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ является решением.

2) Если $\cos x = \sin x$, то $\text{tg } x = 1$ (при $\cos x \ne 0$). Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ $\sin x \le 0$: - Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m$ (первая четверть), $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Не подходит. - Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ (третья четверть), $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Подходит. Теперь для серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ проверим второе условие ОДЗ $\sin 2x \ge 0$: $2x = 2(\frac{5\pi}{4} + 2\pi m) = \frac{5\pi}{2} + 4\pi m$. $\sin(2x) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 4\pi m) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Так как $1 \ge 0$, это условие выполняется. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ является решением.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

147. a) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 2;$

б) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1.$

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. $x-1-2\sqrt{x-2} \ge 0$.

3. $x+7-6\sqrt{x-2} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x-1-2\sqrt{x-2} = (x-2) - 2\sqrt{x-2} + 1 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-2} + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+7-6\sqrt{x-2} = x+7-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-2}$. Попробуем представить это в виде $(a-b)^2$, где $a=3$ и $b=\sqrt{x-2}$. Проверим: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{x-2})^2 = 9 + x-2 = x+7$. Это совпадает с оставшимися членами выражения. Таким образом, $x+7-6\sqrt{x-2} = (3-\sqrt{x-2})^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(3-\sqrt{x-2})^2} = 2$

$|\sqrt{x-2}-1| + |3-\sqrt{x-2}| = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$|t-1| + |3-t| = 2$, или $|t-1| + |t-3| = 2$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $t$.

1) При $0 \le t < 1$:

$-(t-1) - (t-3) = 2$

$1-t + 3-t = 2$

$4 - 2t = 2$

$2t = 2 \implies t=1$. Это значение не входит в интервал $t<1$, поэтому в этом интервале решений нет.

2) При $1 \le t \le 3$:

$(t-1) - (t-3) = 2$

$t-1-t+3 = 2$

$2 = 2$.

Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из отрезка $[1, 3]$.

3) При $t > 3$:

$(t-1) + (t-3) = 2$

$2t-4 = 2$

$2t = 6 \implies t=3$. Это значение не входит в интервал $t>3$, но является его границей и уже включено в решение из предыдущего случая.

Таким образом, решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le \sqrt{x-2} \le 3$.

Так как все части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$1^2 \le (\sqrt{x-2})^2 \le 3^2$

$1 \le x-2 \le 9$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$3 \le x \le 11$.

Данный отрезок удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $x \in [3; 11]$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x+3-4\sqrt{x-1} \ge 0$.

3. $x+8-6\sqrt{x-1} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, как и в предыдущем задании.

Для первого слагаемого: $x+3-4\sqrt{x-1} = x+3-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1}$. Представим в виде $(a-b)^2$, где $a=2, b=\sqrt{x-1}$. Проверим: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{x-1})^2 = 4 + x-1 = x+3$. Выражение совпало. Таким образом, $x+3-4\sqrt{x-1} = (2-\sqrt{x-1})^2$.

Для второго слагаемого: $x+8-6\sqrt{x-1} = x+8-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-1}$. Представим в виде $(a-b)^2$, где $a=3, b=\sqrt{x-1}$. Проверим: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{x-1})^2 = 9 + x-1 = x+8$. Выражение совпало. Таким образом, $x+8-6\sqrt{x-1} = (3-\sqrt{x-1})^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(2-\sqrt{x-1})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{x-1})^2} = 1$

$|2-\sqrt{x-1}| + |3-\sqrt{x-1}| = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Поскольку $x \ge 1$, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$|2-t| + |3-t| = 1$, или $|t-2| + |t-3| = 1$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $t$.

1) При $0 \le t < 2$:

$-(t-2) - (t-3) = 1$

$2-t + 3-t = 1$

$5 - 2t = 1$

$2t = 4 \implies t=2$. Это значение не входит в интервал $t<2$.

2) При $2 \le t \le 3$:

$(t-2) - (t-3) = 1$

$t-2-t+3 = 1$

$1 = 1$.

Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из отрезка $[2, 3]$.

3) При $t > 3$:

$(t-2) + (t-3) = 1$

$2t - 5 = 1$

$2t = 6 \implies t=3$. Это значение не входит в интервал $t>3$, но является его границей.

Таким образом, решением для $t$ является отрезок $2 \le t \le 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2 \le \sqrt{x-1} \le 3$.

Так как все части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$2^2 \le (\sqrt{x-1})^2 \le 3^2$

$4 \le x-1 \le 9$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$5 \le x \le 10$.

Данный отрезок удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $x \in [5; 10]$.

148. a) $\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=17;$

б) $\sqrt[4]{x(2-x)} + \sqrt[3]{x^4 (2-x)^7 (x+3)^5} + \sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2} + \sqrt[5]{(x+2)(x+6)} = 2.$

а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{1-x} = 17$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 1 \end{cases} $

Данная система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 1. Область допустимых значений является пустым множеством.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

б) $\sqrt[4]{x(2-x)} + \sqrt[3]{x^4(2-x)^7(x+3)^5} + \sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2} + \sqrt[5]{(x+2)(x+6)} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Корни с нечетными показателями ($\sqrt[3]{...}$ и $\sqrt[5]{...}$) определены для любых действительных значений подкоренного выражения. Для корней с четными показателями ($\sqrt[4]{...}$ и $\sqrt[6]{...}$) подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

Рассмотрим условия для корней с четными показателями:

1. Для $\sqrt[4]{x(2-x)}$: $x(2-x) \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in [0, 2]$.

2. Для $\sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2}$: $(x-2)(x+1)x^2 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, это неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} (x-2)(x+1) \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $ или $x=0$.

Решение неравенства $(x-2)(x+1) \ge 0$ дает $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$. Объединяя с $x=0$, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение областей, полученных из условий 1 и 2, чтобы определить ОДЗ всего уравнения:

ОДЗ = $[0, 2] \cap ((-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [2, \infty))$

Пересечением этих множеств являются только две точки: $x=0$ и $x=2$.

Следовательно, решения уравнения, если они существуют, могут быть только $x=0$ или $x=2$. Проверим каждое из этих значений.

Проверка для $x=0$:

Подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{0(2-0)} + \sqrt[3]{0^4(2-0)^7(0+3)^5} + \sqrt[6]{(0-2)(0+1)0^2} + \sqrt[5]{(0+2)(0+6)} = 2$

$\sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[6]{0} + \sqrt[5]{12} = 2$

$0 + 0 + 0 + \sqrt[5]{12} = 2$

$\sqrt[5]{12} = 2$

Это неверно, так как $2^5 = 32 \neq 12$. Значит, $x=0$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x=2$:

Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2(2-2)} + \sqrt[3]{2^4(2-2)^7(2+3)^5} + \sqrt[6]{(2-2)(2+1)2^2} + \sqrt[5]{(2+2)(2+6)} = 2$

$\sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[6]{0} + \sqrt[5]{4 \cdot 8} = 2$

$0 + 0 + 0 + \sqrt[5]{32} = 2$

$2 = 2$

Это верное равенство. Значит, $x=2$ является корнем уравнения.

Ответ: $x=2$.

149. a) $ \sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2} $

б) $ \sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)} $

а) $\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$

Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подстановка $x=1$ дает $\sqrt[3]{(1+1)^2} + 2\sqrt[3]{1-1} = 8\sqrt[3]{(1-1)^2}$, что приводит к $\sqrt[3]{4} = 0$. Это неверно, следовательно, $x \neq 1$.

Поскольку $x \neq 1$, то $(x-1)^2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt[3]{(x-1)^2}$:

$\frac{\sqrt[3]{(x+1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{8\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$

$\sqrt[3]{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}} + 2\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}} = 8$

$\sqrt[3]{(\frac{x+1}{x-1})^2} + 2\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 + 2y - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 2$

$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = 2$

Возведем обе части в куб:

$\frac{x+1}{x-1} = 2^3 = 8$

$x+1 = 8(x-1)$

$x+1 = 8x - 8$

$7x = 9$

$x_1 = \frac{9}{7}$

Случай 2: $y = -4$

$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = -4$

Возведем обе части в куб:

$\frac{x+1}{x-1} = (-4)^3 = -64$

$x+1 = -64(x-1)$

$x+1 = -64x + 64$

$65x = 63$

$x_2 = \frac{63}{65}$

Ответ: $x_1 = \frac{9}{7}, x_2 = \frac{63}{65}$

б) $\sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)}$

Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{2-x}$ и $b = \sqrt[3]{7+x}$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$a^2 + b^2 = ab$

Перенесем все члены в одну сторону:

$a^2 - ab + b^2 = 0$

Рассмотрим это выражение. Его можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = 0$

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} (a - \frac{b}{2})^2 = 0 \\ \frac{3}{4}b^2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $b^2 = 0$, то есть $b=0$.

Подставив $b=0$ в первое уравнение, получаем $(a - 0)^2 = 0$, то есть $a=0$.

Таким образом, единственное действительное решение уравнения $a^2 - ab + b^2 = 0$ — это $a=0$ и $b=0$.

Вернемся к переменной $x$:

$a = \sqrt[3]{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x=2$

$b = \sqrt[3]{7+x} = 0 \implies 7+x = 0 \implies x=-7$

Мы получили, что $x$ должен одновременно быть равен 2 и -7, что невозможно.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений

150. a) $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$

б) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы использовать тождество для суммы трех чисел:
$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} - \sqrt[3]{x-1} = 0$.

Воспользуемся известным тождеством: если $a+b+c=0$, то $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Пусть $a = \sqrt[3]{x+1}$, $b = \sqrt[3]{3x+1}$ и $c = -\sqrt[3]{x-1}$.
Тогда $a^3 = x+1$, $b^3 = 3x+1$ и $c^3 = -(\sqrt[3]{x-1})^3 = -(x-1) = 1-x$.

Подставляем эти выражения в тождество:

$(x+1) + (3x+1) + (1-x) = 3(\sqrt[3]{x+1})(\sqrt[3]{3x+1})(-\sqrt[3]{x-1})$

Упрощаем обе части уравнения:

$3x+3 = -3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}$

Разделим обе части на 3:

$x+1 = -\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}$

Для избавления от кубического корня возведем обе части уравнения в куб:

$(x+1)^3 = -((x+1)(x-1)(3x+1))$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)^3 + (x+1)(x-1)(3x+1) = 0$
$(x+1) \cdot [(x+1)^2 + (x-1)(3x+1)] = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x+1=0 \implies x=-1$.

2. $(x+1)^2 + (x-1)(3x+1) = 0$. Раскроем скобки:
$(x^2+2x+1) + (3x^2+x-3x-1) = 0$
$x^2+2x+1 + 3x^2-2x-1 = 0$
$4x^2 = 0 \implies x=0$.

Использование тождества $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$ может приводить к появлению посторонних корней (в случае, когда $a+b+c \neq 0$, но $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$). Поэтому необходима проверка найденных корней.

Проверка:
При $x=-1$:
$\sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{3(-1)+1} = \sqrt[3]{-1-1}$
$\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2}$
$\sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2}$.
Равенство верное, значит $x=-1$ является корнем.

При $x=0$:
$\sqrt[3]{0+1} + \sqrt[3]{3(0)+1} = \sqrt[3]{0-1}$
$\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{-1}$
$1 + 1 = -1$
$2 = -1$.
Равенство неверное, значит $x=0$ — посторонний корень.

Ответ: $x=-1$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

Аналогично пункту а), перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} - \sqrt[3]{x-8} = 0$ и воспользуемся тождеством $a+b+c=0 \implies a^3+b^3+c^3=3abc$.

Пусть $a=\sqrt[3]{x}$, $b=\sqrt[3]{x-16}$, $c=-\sqrt[3]{x-8}$.
Тогда $a^3=x$, $b^3=x-16$, $c^3=-(x-8)=8-x$.

Подставим в тождество:

$x + (x-16) + (8-x) = 3(\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x-16})(-\sqrt[3]{x-8})$

Упростим:

$x-8 = -3\sqrt[3]{x(x-16)(x-8)}$

Возведем обе части в куб:

$(x-8)^3 = (-3)^3 \cdot x(x-16)(x-8)$
$(x-8)^3 = -27x(x-16)(x-8)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x-8)$:

$(x-8)^3 + 27x(x-16)(x-8) = 0$
$(x-8)[(x-8)^2 + 27x(x-16)] = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x-8=0 \implies x=8$.

2. $(x-8)^2 + 27x(x-16) = 0$. Раскроем скобки:
$x^2-16x+64 + 27x^2-432x = 0$
$28x^2 - 448x + 64 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$7x^2 - 112x + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-112)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 12544 - 448 = 12096$.

$\sqrt{D} = \sqrt{12096} = \sqrt{576 \cdot 21} = 24\sqrt{21}$.

Находим корни:

$x = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{2 \cdot 7} = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{14} = \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$.

Таким образом, мы получили три потенциальных корня: $x_1=8$, $x_2=\frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$, $x_3=\frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.

В данном случае, в отличие от пункта а), проверка не является строго необходимой. Уравнение $a^3+b^3+c^3-3abc=0$ равносильно $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$. Второй множитель равен нулю только при $a=b=c$ (для действительных чисел). В нашем случае условие $a=b$ означает $\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x-16}$, что приводит к неверному равенству $x=x-16$, или $0=-16$. Так как случай $a=b=c$ невозможен, то уравнение $a^3+b^3+c^3=3abc$ равносильно исходному уравнению $a+b+c=0$. Следовательно, все три найденных корня являются решениями.

Ответ: $x_1=8$, $x_2=\frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$, $x_3=\frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.

151. a) $\frac{\sqrt[7]{12+x}}{x} + \frac{\sqrt[7]{12+x}}{12} = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x}$

б) $x^2 - 5x - 4\sqrt{x} + 13 = 0$

а)

Дано иррациональное уравнение: $ \frac{\sqrt[7]{12+x}}{x} + \frac{\sqrt[7]{12+x}}{12} = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $x \neq 0$. Поскольку корень седьмой степени определен для любых действительных чисел, других ограничений нет.

Вынесем общий множитель $ \sqrt[7]{12+x} $ в левой части уравнения:

$ \sqrt[7]{12+x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{12} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \sqrt[7]{12+x} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Поскольку $x \neq 0$, то и $\sqrt[7]{x} \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[7]{x}$:

$ \frac{\sqrt[7]{12+x}}{\sqrt[7]{x}} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3} $

Используя свойство корня $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $, получаем:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3} $

Заметим, что выражение $ \frac{12+x}{x} $ присутствует в уравнении дважды. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} $. Тогда $ t^7 = \frac{12+x}{x} $.

Выражение в скобках можно переписать через $t$:

$ \frac{12+x}{12x} = \frac{1}{12} \cdot \frac{12+x}{x} = \frac{1}{12}t^7 $

Подставим замену в уравнение:

$ t \cdot \left( \frac{1}{12}t^7 \right) = \frac{64}{3} $

$ \frac{t^8}{12} = \frac{64}{3} $

Выразим $t^8$:

$ t^8 = \frac{64 \cdot 12}{3} = 64 \cdot 4 = 256 $

Так как $256 = 2^8$, уравнение принимает вид $ t^8 = 2^8 $.

Отсюда получаем два возможных действительных значения для $t$: $t_1=2$ и $t_2=-2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Случай $ t = 2 $:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} = 2 $

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$ \frac{12+x}{x} = 2^7 = 128 $

$ 12+x = 128x $

$ 127x = 12 $

$ x_1 = \frac{12}{127} $

2) Случай $ t = -2 $:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} = -2 $

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$ \frac{12+x}{x} = (-2)^7 = -128 $

$ 12+x = -128x $

$ 129x = -12 $

$ x_2 = -\frac{12}{129} = -\frac{4}{43} $

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x_1 = \frac{12}{127}, x_2 = -\frac{4}{43}$.

б)

Дано уравнение: $ x^2 - 5x - 4\sqrt{x} + 13 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня $ \sqrt{x} $, что требует $x \ge 0$.

Для решения этого уравнения попробуем преобразовать его левую часть, выделив полные квадраты. Для этого представим $-5x$ как $-6x+x$, а $13$ как $9+4$:

$ x^2 - 6x + 9 + x - 4\sqrt{x} + 4 = 0 $

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$ (x^2 - 6x + 9) + (x - 4\sqrt{x} + 4) = 0 $

Первая группа слагаемых $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.

Вторую группу слагаемых $x - 4\sqrt{x} + 4$ можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $ \sqrt{x} $: $ (\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x} + 4 $, что, в свою очередь, является полным квадратом разности $ (\sqrt{x}-2)^2 $.

Подставив эти выражения в уравнение, получим:

$ (x-3)^2 + (\sqrt{x}-2)^2 = 0 $

В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $ (x-3)^2 \ge 0 $ и $ (\sqrt{x}-2)^2 \ge 0 $). Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} x-3=0 \\ \sqrt{x}-2=0 \end{cases} $

Решим эту систему:

Из первого уравнения получаем $x=3$.

Из второго уравнения получаем $\sqrt{x}=2$, что после возведения в квадрат дает $x=4$.

Система требует, чтобы переменная $x$ одновременно была равна 3 и 4, что является противоречием и невозможно. Это означает, что система не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

152. $ \frac{1 + x - \sqrt{2x + x^2}}{1 + x + \sqrt{2x + x^2}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{2 + x} + \sqrt{x}}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{x}} $

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
   • $2x + x^2 \ge 0 \implies x(x+2) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.
   • $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$.
   • $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
   • $1 + x + \sqrt{2x + x^2} \ne 0$. При $x \ge 0$ все слагаемые неотрицательны ($1>0, x \ge 0, \sqrt{...} \ge 0$), поэтому их сумма всегда больше нуля.
   • $\sqrt{2+x} - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{2+x} \ne \sqrt{x} \implies 2+x \ne x \implies 2 \ne 0$. Это верно для всех $x$.

Пересекая все условия ($x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$, $x \ge -2$ и $x \ge 0$), получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразование уравнения

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $a = \sqrt{x+2}$ и $b = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $a > 0$, $b \ge 0$ и $a > b$. Выразим через $a$ и $b$ части исходного уравнения:

• $a^2 = x+2$, $b^2 = x$.
• $1+x = \frac{2+2x}{2} = \frac{(x+2)+x}{2} = \frac{a^2+b^2}{2}$.
• $\sqrt{2x+x^2} = \sqrt{x(x+2)} = \sqrt{b^2 a^2} = ab$ (так как $a, b \ge 0$).

Теперь преобразуем левую часть (ЛЧ) уравнения: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}} = \frac{\frac{a^2+b^2}{2} - ab}{\frac{a^2+b^2}{2} + ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{a^2+b^2+2ab} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 $$

Преобразуем правую часть (ПЧ) уравнения: $$ \text{ПЧ} = 27 \cdot \frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{x}} = 27 \cdot \frac{a+b}{a-b} $$

Исходное уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 = 27 \cdot \frac{a+b}{a-b} $$

3. Решение преобразованного уравнения

Введем еще одну замену: пусть $Y = \frac{a-b}{a+b}$. Тогда $\frac{a+b}{a-b} = \frac{1}{Y}$. Уравнение переписывается как: $$ Y^2 = \frac{27}{Y} $$ Поскольку $a-b = \sqrt{x+2} - \sqrt{x} > 0$ для $x \ge 0$, то $Y \ne 0$. Умножим обе части на $Y$: $$ Y^3 = 27 $$ $$ Y = 3 $$

4. Анализ результата и возврат к исходной переменной

Мы получили, что $Y=3$. Вернемся к замене $Y = \frac{a-b}{a+b}$: $$ \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} = 3 $$ Проанализируем левую часть этого выражения. Так как по ОДЗ $x \ge 0$, имеем $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{x+2} > 0$. Числитель $\sqrt{x+2} - \sqrt{x}$ и знаменатель $\sqrt{x+2} + \sqrt{x}$ положительны. Очевидно, что знаменатель больше числителя: $$ \sqrt{x+2} + \sqrt{x} > \sqrt{x+2} - \sqrt{x} $$ (это неравенство эквивалентно $2\sqrt{x} > 0$, что верно для всех $x>0$; при $x=0$ левая часть равна $1$). Следовательно, для любого $x \ge 0$ значение дроби $\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}}$ должно быть меньше или равно 1.

Таким образом, уравнение $$ \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} = 3 $$ не может иметь решений, так как его левая часть всегда меньше или равна 1, а правая равна 3.

Если все же попытаться решить это уравнение алгебраически, мы придем к противоречию: $$ \sqrt{x+2} - \sqrt{x} = 3(\sqrt{x+2} + \sqrt{x}) $$ $$ \sqrt{x+2} - \sqrt{x} = 3\sqrt{x+2} + 3\sqrt{x} $$ $$ -2\sqrt{x+2} = 4\sqrt{x} $$ $$ -\sqrt{x+2} = 2\sqrt{x} $$ В последнем равенстве левая часть отрицательна (для любого $x \ge 0$), а правая часть неотрицательна. Равенство невозможно.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет (пустое множество, $\emptyset$).

153. Для каждого действительного числа a найдите все решения

уравнения:

a) $x+\sqrt{1-x^2}=a$;

б) $\sqrt{x^2-1}+x=a$.

Рассмотрим уравнение $x + \sqrt{1 - x^2} = a$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.

2. Преобразование уравнения. Уединим радикал: $\sqrt{1 - x^2} = a - x$.

3. Условие для возведения в квадрат. Левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $a - x \ge 0 \implies x \le a$.

4. Возведение в квадрат. Возведем обе части уравнения в квадрат: $1 - x^2 = (a - x)^2$ $1 - x^2 = a^2 - 2ax + x^2$ $2x^2 - 2ax + (a^2 - 1) = 0$.

5. Решение квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$: $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = 8 - 4a^2 = 4(2 - a^2)$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$: $4(2 - a^2) \ge 0 \implies 2 - a^2 \ge 0 \implies a^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$. При таких $a$ корни уравнения равны: $x = \frac{2a \pm \sqrt{4(2 - a^2)}}{4} = \frac{2a \pm 2\sqrt{2 - a^2}}{4} = \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2}$.

6. Проверка корней. Необходимо проверить выполнение условий ОДЗ ($-1 \le x \le 1$) и условия $x \le a$. Вместо прямой подстановки, проанализируем область значений функции $f(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $[-1, 1]$. Производная $f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Приравняв ее к нулю, найдем $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значения функции на концах отрезка и в точке экстремума: $f(-1) = -1$, $f(1) = 1$, $f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Следовательно, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $[-1, \sqrt{2}]$. Таким образом, уравнение имеет решения только при $a \in [-1, \sqrt{2}]$.

Рассмотрим различные случаи для $a$ из этого промежутка.

• Если $a = \sqrt{2}$, то $D=0$, уравнение имеет один корень $x = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот корень удовлетворяет всем условиям.
• Если $a = -1$, то $D = 4(2-1)=4$. Корни: $x = \frac{-1 \pm 2}{2}$, то есть $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -1$. Проверяем условие $x \le a$ (т.е. $x \le -1$). Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не подходит. Корень $x_2 = -1$ подходит.
• Если $a = 1$, то $D=4$. Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{4(2-1)}}{4} = \frac{1 \pm 1}{2}$. $x_1 = 1$, $x_2 = 0$. Проверяем условие $x \le a$ (т.е. $x \le 1$). Оба корня подходят.
• Если $1 < a < \sqrt{2}$. Имеем два корня $x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2}$. Проверим условие $x \le a$. Для $x_1 = \frac{a + \sqrt{2-a^2}}{2}$: $\frac{a + \sqrt{2-a^2}}{2} \le a \iff \sqrt{2-a^2} \le a$. Так как $a>1>0$, возводим в квадрат: $2-a^2 \le a^2 \iff 2 \le 2a^2 \iff 1 \le a^2$. Это верно, так как $a>1$. Корень подходит. Для $x_2 = \frac{a - \sqrt{2-a^2}}{2}$: $\frac{a - \sqrt{2-a^2}}{2} \le a \iff -\sqrt{2-a^2} \le a$. Это верно, так как $a>0$. Корень подходит. Оба корня являются решениями.
• Если $-1 < a < 1$. Имеем два корня $x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2}$. Проверим условие $x \le a$. Для $x_1 = \frac{a + \sqrt{2-a^2}}{2}$: $\sqrt{2-a^2} \le a$. Если $a \in [0, 1)$, то $a^2 < 1$, а значит условие $1 \le a^2$ не выполняется. Если $a \in (-1, 0)$, то условие тем более не выполняется, так как левая часть положительна, а правая отрицательна. Этот корень не подходит. Для $x_2 = \frac{a - \sqrt{2-a^2}}{2}$: $-\sqrt{2-a^2} \le a \iff \sqrt{2-a^2} \ge -a$. Если $a \in [0,1)$, это очевидно верно. Если $a \in (-1, 0)$, то $-a>0$, и можно возвести в квадрат: $2-a^2 \ge a^2 \iff 2 \ge 2a^2 \iff 1 \ge a^2$. Это верно для $a \in (-1, 0)$. Таким образом, этот корень подходит.

Ответ:
- при $a < -1$ или $a > \sqrt{2}$ решений нет;
- при $a = \sqrt{2}$ одно решение $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
- при $a \in [1, \sqrt{2})$ два решения $x = \frac{a \pm \sqrt{2-a^2}}{2}$;
- при $a \in [-1, 1)$ одно решение $x = \frac{a - \sqrt{2-a^2}}{2}$.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^2 - 1} + x = a$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Преобразование уравнения. Уединим радикал: $\sqrt{x^2 - 1} = a - x$.

3. Условие для возведения в квадрат. Левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $a - x \ge 0 \implies x \le a$.

4. Возведение в квадрат. Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 - 1 = (a - x)^2$ $x^2 - 1 = a^2 - 2ax + x^2$ $2ax = a^2 + 1$.

5. Решение уравнения относительно x. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ решений нет. Если $a \ne 0$, то $x = \frac{a^2 + 1}{2a}$.

6. Проверка корня. Необходимо проверить выполнение условий $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ и $x \le a$.

Проверим условие ОДЗ: $x^2 \ge 1$. $(\frac{a^2+1}{2a})^2 \ge 1 \iff \frac{(a^2+1)^2}{4a^2} \ge 1 \iff (a^2+1)^2 \ge 4a^2 \iff a^4 + 2a^2 + 1 \ge 4a^2 \iff a^4 - 2a^2 + 1 \ge 0 \iff (a^2 - 1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех $a \ne 0$.

Проверим условие $x \le a$: $\frac{a^2+1}{2a} \le a$. - Если $a > 0$, умножаем на $2a$: $a^2+1 \le 2a^2 \iff 1 \le a^2$. Так как $a > 0$, это означает $a \ge 1$. - Если $a < 0$, умножаем на $2a$ и меняем знак неравенства: $a^2+1 \ge 2a^2 \iff 1 \ge a^2$. Так как $a < 0$, это означает $-1 \le a < 0$. Объединяя результаты, получаем, что решение существует при $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$.

Ответ:
- при $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$ одно решение $x = \frac{a^2+1}{2a}$;
- при $a \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$ решений нет.

Решите неравенства (154—158).

154. а) $\sqrt{x^2-3x+2} > 2x-5;$

б) $\sqrt{3x-x^2} < 4-x;$

в) $3\sqrt{x}-\sqrt{x+3} > 1;$

г) $x-\sqrt{1-|x|} < 0.$

а) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > 2x - 5$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств.

Первая система соответствует случаю, когда правая часть отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.

$ \begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $2x < 5$, откуда $x < 2.5$.

Решаем второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=2$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Пересечение решений $x < 2.5$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ дает нам $x \in (-\infty, 1] \cup [2, 2.5)$.

Вторая система соответствует случаю, когда правая часть неотрицательна. В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат.

$ \begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (2x - 5)^2 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $2x \ge 5$, откуда $x \ge 2.5$.

Решаем второе неравенство:
$x^2 - 3x + 2 > 4x^2 - 20x + 25$
$3x^2 - 17x + 23 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 17x + 23 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 23 = 289 - 276 = 13$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{13}}{6}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $3x^2 - 17x + 23 < 0$ есть интервал $x \in (\frac{17 - \sqrt{13}}{6}, \frac{17 + \sqrt{13}}{6})$.

Найдем пересечение решений $x \ge 2.5$ и $x \in (\frac{17 - \sqrt{13}}{6}, \frac{17 + \sqrt{13}}{6})$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $\frac{17-4}{6} < \frac{17 - \sqrt{13}}{6} < \frac{17-3}{6}$, то есть $2.16 < \frac{17 - \sqrt{13}}{6} < 2.34$.
Следовательно, $2.5 > \frac{17 - \sqrt{13}}{6}$.
Пересечением будет интервал $x \in [2.5, \frac{17 + \sqrt{13}}{6})$.

Объединяя решения обеих систем, получаем окончательный ответ:
$(-\infty, 1] \cup [2, 2.5) \cup [2.5, \frac{17 + \sqrt{13}}{6}) = (-\infty, 1] \cup [2, \frac{17 + \sqrt{13}}{6})$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \frac{17 + \sqrt{13}}{6})$.

б) Решим неравенство $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x - x^2 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - x^2 \ge 0 \implies x(3 - x) \ge 0$. Решением является отрезок $x \in [0, 3]$.

2) $4 - x > 0 \implies x < 4$.

3) $3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \implies 2x^2 - 11x + 16 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то трехчлен $2x^2 - 11x + 16$ положителен при любых значениях $x$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [0, 3] \cap (-\infty, 4) \cap (-\infty, \infty)$.

Пересечением является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $x \in [0, 3]$.

в) Решим неравенство $3\sqrt{x} - \sqrt{x+3} > 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.

Перепишем неравенство в виде $3\sqrt{x} > 1 + \sqrt{x+3}$.

При $x \ge 0$ обе части неравенства положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(3\sqrt{x})^2 > (1 + \sqrt{x+3})^2$

$9x > 1 + 2\sqrt{x+3} + (x+3)$

$9x > x + 4 + 2\sqrt{x+3}$

$8x - 4 > 2\sqrt{x+3}$

$4x - 2 > \sqrt{x+3}$

Для выполнения этого неравенства левая часть должна быть положительной, так как правая часть неотрицательна: $4x - 2 > 0$, откуда $x > 0.5$.

При условии $x > 0.5$ обе части неравенства $4x - 2 > \sqrt{x+3}$ положительны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(4x - 2)^2 > x+3$

$16x^2 - 16x + 4 > x + 3$

$16x^2 - 17x + 1 > 0$

Найдем корни уравнения $16x^2 - 17x + 1 = 0$. Сумма коэффициентов $16 - 17 + 1 = 0$, значит, один корень $x_1=1$. Второй корень по теореме Виета $x_2 = c/a = 1/16$.

Решение неравенства $16x^2 - 17x + 1 > 0$: $x \in (-\infty, 1/16) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge 0$) и условием $x > 0.5$.

$x \in ((-\infty, 1/16) \cup (1, \infty)) \cap [0, \infty) \cap (0.5, \infty)$.

Так как $1/16 = 0.0625$, а $0.5 = 8/16$, то интервал $(-\infty, 1/16)$ не пересекается с $(0.5, \infty)$.

Пересечение $(1, \infty)$ с $(0.5, \infty)$ дает $(1, \infty)$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

г) Решим неравенство $x - \sqrt{1 - |x|} < 0$.

Перепишем неравенство: $x < \sqrt{1 - |x|}$.

ОДЗ: $1 - |x| \ge 0 \implies |x| \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства отрицательна, а правая неотрицательна. Неравенство вида "отрицательное < неотрицательное" всегда верно. Таким образом, все значения $x < 0$ из ОДЗ являются решениями.
Пересекая $x < 0$ с ОДЗ $x \in [-1, 1]$, получаем $x \in [-1, 0)$.

Случай 2: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x < \sqrt{1 - x}$.
В рамках ОДЗ, для этого случая имеем $x \in [0, 1]$. На этом отрезке обе части неравенства $x < \sqrt{1-x}$ неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
$x^2 < 1 - x$
$x^2 + x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$.
$D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решение неравенства $x^2 + x - 1 < 0$ есть интервал $x \in (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.

Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая $x \in [0, 1]$.
$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0$.
$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+2.23}{2} \approx 0.615$, что находится в интервале $[0,1]$.
Пересечение: $x \in [0, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.

Объединим решения обоих случаев:
$x \in [-1, 0) \cup [0, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) = [-1, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.

155. a) $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} < 3$;б) $\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x} \ge 1$;

в) $4x^2+12x\sqrt{1+x} \le 27(1+x)$;

г) $\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x} < 35-2x.$

а)

Решим неравенство $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - 4x^2 \ge 0 \implies 4x^2 \le 1 \implies x^2 \le \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби в левой части на сопряженное выражение $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$. Так как $1 + \sqrt{1 - 4x^2} > 0$ на ОДЗ, это преобразование равносильно.
$\frac{(1 - \sqrt{1 - 4x^2})(1 + \sqrt{1 - 4x^2})}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$
$\frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$
$\frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$
Сокращаем на $x$ (с учетом $x \ne 0$):
$\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3$

3. Знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ всегда положителен, поэтому можно умножить на него обе части неравенства, сохранив знак:
$4x < 3(1 + \sqrt{1 - 4x^2})$
$4x - 3 < 3\sqrt{1 - 4x^2}$

4. Проанализируем полученное неравенство.
Правая часть $3\sqrt{1 - 4x^2}$ всегда неотрицательна.
Рассмотрим левую часть $4x - 3$. В области ОДЗ $x \le \frac{1}{2}$, поэтому $4x \le 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Следовательно, $4x - 3 \le 2 - 3 = -1$.
Таким образом, левая часть неравенства всегда отрицательна, а правая — всегда неотрицательна. Неравенство вида «отрицательное число < неотрицательное число» всегда истинно.
Это означает, что неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

б)

Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2-1} + 1}{x} \ge 1$.

1. Найдем ОДЗ.
$x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
$x \ne 0$ (уже учтено).
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Разобьем решение на два случая в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x > 0$.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $x \in [1, \infty)$.
Умножаем обе части на $x > 0$, знак неравенства сохраняется:
$\sqrt{x^2 - 1} + 1 \ge x$
$\sqrt{x^2 - 1} \ge x - 1$
На промежутке $x \in [1, \infty)$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$x^2 - 1 \ge (x - 1)^2$
$x^2 - 1 \ge x^2 - 2x + 1$
$-1 \ge -2x + 1$
$2x \ge 2$
$x \ge 1$
Пересекая с условием случая $x \in [1, \infty)$, получаем $x \in [1, \infty)$.

Случай 2: $x < 0$.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $x \in (-\infty, -1]$.
Умножаем обе части на $x < 0$, знак неравенства меняется на противоположный:
$\sqrt{x^2 - 1} + 1 \le x$
На промежутке $x \in (-\infty, -1]$ левая часть $\sqrt{x^2 - 1} + 1 \ge 1$, а правая часть $x \le -1$. Неравенство вида «положительное число $\le$ отрицательное число» не имеет решений.

3. Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [1, \infty)$.

в)

Решим неравенство $4x^2 + 12x\sqrt{1+x} \le 27(1+x)$.

1. Найдем ОДЗ: $1+x \ge 0 \implies x \ge -1$. ОДЗ: $x \in [-1, \infty)$.

2. Перенесем все члены в левую часть и преобразуем, выделив полный квадрат.
$4x^2 + 12x\sqrt{1+x} - 27(1+x) \le 0$
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x}) - 27(\sqrt{1+x})^2 \le 0$
Дополним до полного квадрата суммы $(2x + 3\sqrt{1+x})^2$:
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x}) + (3\sqrt{1+x})^2 - (3\sqrt{1+x})^2 - 27(1+x) \le 0$
$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 9(1+x) - 27(1+x) \le 0$
$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 36(1+x) \le 0$
$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - (6\sqrt{1+x})^2 \le 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(2x + 3\sqrt{1+x} - 6\sqrt{1+x})(2x + 3\sqrt{1+x} + 6\sqrt{1+x}) \le 0$
$(2x - 3\sqrt{1+x})(2x + 9\sqrt{1+x}) \le 0$

3. Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни каждого множителя.
Первый множитель: $2x - 3\sqrt{1+x} = 0 \implies 2x = 3\sqrt{1+x}$.
Для равенства необходимо $x \ge 0$. Возводим в квадрат: $4x^2 = 9(1+x) \implies 4x^2 - 9x - 9 = 0$.
Корни: $x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{9 \pm 15}{8}$.
$x_1 = \frac{24}{8} = 3$ (удовлетворяет $x \ge 0$).
$x_2 = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$ (не удовлетворяет $x \ge 0$, посторонний корень).
Второй множитель: $2x + 9\sqrt{1+x} = 0 \implies 2x = -9\sqrt{1+x}$.
Для равенства необходимо $x \le 0$. Возводим в квадрат: $4x^2 = 81(1+x) \implies 4x^2 - 81x - 81 = 0$.
Корни: $x = \frac{81 \pm \sqrt{81^2 - 4(4)(-81)}}{8} = \frac{81 \pm \sqrt{81(81+16)}}{8} = \frac{81 \pm 9\sqrt{97}}{8}$.
Корень $x_3 = \frac{81+9\sqrt{97}}{8} > 0$ (посторонний).
Корень $x_4 = \frac{81-9\sqrt{97}}{8}$. Проверим, что он $\le 0$: $81 < 9\sqrt{97} \iff 9 < \sqrt{97} \iff 81 < 97$, верно. Также $x_4 \ge -1$. Корень подходит.

4. Нанесем корни $x_4 = \frac{81-9\sqrt{97}}{8}$ и $x_1=3$ на числовую прямую и определим знаки произведения на интервалах, учитывая ОДЗ $x \ge -1$.
Интервалы: $[-1, \frac{81-9\sqrt{97}}{8})$, $(\frac{81-9\sqrt{97}}{8}, 3)$, $(3, \infty)$.
- При $x > 3$ (например $x=8$), оба множителя положительны, произведение `+`.
- При $x \in (\frac{81-9\sqrt{97}}{8}, 3)$ (например $x=0$), $(2(0)-3\sqrt{1})<0$ и $(2(0)+9\sqrt{1})>0$, произведение `-`.
- При $x \in [-1, \frac{81-9\sqrt{97}}{8})$, оба множителя отрицательны, произведение `+`.
Нам нужно, чтобы произведение было $\le 0$. Это выполняется на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}, 3]$.

г)

Решим неравенство $\sqrt{x} + \sqrt{x+7} + 2\sqrt{x^2+7x} < 35 - 2x$.

1. Найдем ОДЗ.
$x \ge 0$
$x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$
$x^2+7x = x(x+7) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -7] \cup [0, \infty)$.
Левая часть неравенства неотрицательна, значит, правая должна быть положительной: $35 - 2x > 0 \implies 2x < 35 \implies x < 17.5$.
Пересечение всех условий дает ОДЗ: $x \in [0, 17.5)$.

2. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x} + \sqrt{x+7}$. На ОДЗ $t > 0$.
Возведем $t$ в квадрат:
$t^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{x+7})^2 = x + 2\sqrt{x(x+7)} + x+7 = 2x+7+2\sqrt{x^2+7x}$.
Выразим из этого равенства член $2\sqrt{x^2+7x}$ из исходного неравенства:
$2\sqrt{x^2+7x} = t^2 - (2x+7)$.
Подставим это в исходное неравенство:
$(\sqrt{x} + \sqrt{x+7}) + (t^2 - 2x - 7) < 35 - 2x$
Заменим $(\sqrt{x} + \sqrt{x+7})$ на $t$:
$t + t^2 - 2x - 7 < 35 - 2x$
$t^2 + t - 7 < 35$
$t^2 + t - 42 < 0$

3. Решим квадратное неравенство относительно $t$.
Корни уравнения $t^2 + t - 42 = 0$ находятся по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = -7$, $t_2 = 6$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $-7 < t < 6$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$-7 < \sqrt{x} + \sqrt{x+7} < 6$.
Так как $\sqrt{x} + \sqrt{x+7} \ge 0$ на ОДЗ, левая часть неравенства (больше -7) выполняется всегда.
Остается решить: $\sqrt{x} + \sqrt{x+7} < 6$.
Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+7}$ является возрастающей на своей области определения. Найдем $x$, при котором достигается равенство.
$\sqrt{x} + \sqrt{x+7} = 6$
$\sqrt{x+7} = 6 - \sqrt{x}$
Обе части неотрицательны (для этого $6-\sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} \le 6 \implies x \le 36$, что выполняется в рамках ОДЗ). Возводим в квадрат:
$x+7 = (6 - \sqrt{x})^2$
$x+7 = 36 - 12\sqrt{x} + x$
$7 = 36 - 12\sqrt{x}$
$12\sqrt{x} = 29$
$\sqrt{x} = \frac{29}{12}$
$x = (\frac{29}{12})^2 = \frac{841}{144}$

5. Так как функция $f(x)$ возрастающая, неравенство $f(x) < 6$ будет выполняться для всех $x$, меньших найденного значения.
$x < \frac{841}{144}$.
Объединим с ОДЗ $x \in [0, 17.5)$. Так как $\frac{841}{144} \approx 5.84$, это значение входит в ОДЗ. Итоговое решение — это пересечение $x \ge 0$ и $x < \frac{841}{144}$.

Ответ: $x \in [0, \frac{841}{144})$.