Номер 152, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 152, страница 331.

Условие.

152. $ \frac{1 + x - \sqrt{2x + x^2}}{1 + x + \sqrt{2x + x^2}} = 27 \cdot \frac{\sqrt{2 + x} + \sqrt{x}}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{x}} $

Решение 5.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
   • $2x + x^2 \ge 0 \implies x(x+2) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.
   • $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$.
   • $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
   • $1 + x + \sqrt{2x + x^2} \ne 0$. При $x \ge 0$ все слагаемые неотрицательны ($1>0, x \ge 0, \sqrt{...} \ge 0$), поэтому их сумма всегда больше нуля.
   • $\sqrt{2+x} - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{2+x} \ne \sqrt{x} \implies 2+x \ne x \implies 2 \ne 0$. Это верно для всех $x$.

Пересекая все условия ($x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$, $x \ge -2$ и $x \ge 0$), получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразование уравнения

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $a = \sqrt{x+2}$ и $b = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $a > 0$, $b \ge 0$ и $a > b$. Выразим через $a$ и $b$ части исходного уравнения:

• $a^2 = x+2$, $b^2 = x$.
• $1+x = \frac{2+2x}{2} = \frac{(x+2)+x}{2} = \frac{a^2+b^2}{2}$.
• $\sqrt{2x+x^2} = \sqrt{x(x+2)} = \sqrt{b^2 a^2} = ab$ (так как $a, b \ge 0$).

Теперь преобразуем левую часть (ЛЧ) уравнения: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}} = \frac{\frac{a^2+b^2}{2} - ab}{\frac{a^2+b^2}{2} + ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{a^2+b^2+2ab} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 $$

Преобразуем правую часть (ПЧ) уравнения: $$ \text{ПЧ} = 27 \cdot \frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{x}} = 27 \cdot \frac{a+b}{a-b} $$

Исходное уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 = 27 \cdot \frac{a+b}{a-b} $$

3. Решение преобразованного уравнения

Введем еще одну замену: пусть $Y = \frac{a-b}{a+b}$. Тогда $\frac{a+b}{a-b} = \frac{1}{Y}$. Уравнение переписывается как: $$ Y^2 = \frac{27}{Y} $$ Поскольку $a-b = \sqrt{x+2} - \sqrt{x} > 0$ для $x \ge 0$, то $Y \ne 0$. Умножим обе части на $Y$: $$ Y^3 = 27 $$ $$ Y = 3 $$

4. Анализ результата и возврат к исходной переменной

Мы получили, что $Y=3$. Вернемся к замене $Y = \frac{a-b}{a+b}$: $$ \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} = 3 $$ Проанализируем левую часть этого выражения. Так как по ОДЗ $x \ge 0$, имеем $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{x+2} > 0$. Числитель $\sqrt{x+2} - \sqrt{x}$ и знаменатель $\sqrt{x+2} + \sqrt{x}$ положительны. Очевидно, что знаменатель больше числителя: $$ \sqrt{x+2} + \sqrt{x} > \sqrt{x+2} - \sqrt{x} $$ (это неравенство эквивалентно $2\sqrt{x} > 0$, что верно для всех $x>0$; при $x=0$ левая часть равна $1$). Следовательно, для любого $x \ge 0$ значение дроби $\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}}$ должно быть меньше или равно 1.

Таким образом, уравнение $$ \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} = 3 $$ не может иметь решений, так как его левая часть всегда меньше или равна 1, а правая равна 3.

Если все же попытаться решить это уравнение алгебраически, мы придем к противоречию: $$ \sqrt{x+2} - \sqrt{x} = 3(\sqrt{x+2} + \sqrt{x}) $$ $$ \sqrt{x+2} - \sqrt{x} = 3\sqrt{x+2} + 3\sqrt{x} $$ $$ -2\sqrt{x+2} = 4\sqrt{x} $$ $$ -\sqrt{x+2} = 2\sqrt{x} $$ В последнем равенстве левая часть отрицательна (для любого $x \ge 0$), а правая часть неотрицательна. Равенство невозможно.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет (пустое множество, $\emptyset$).