Номер 148, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 148, страница 331.

Условие.

148. a) $\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=17;$

б) $\sqrt[4]{x(2-x)} + \sqrt[3]{x^4 (2-x)^7 (x+3)^5} + \sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2} + \sqrt[5]{(x+2)(x+6)} = 2.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{1-x} = 17$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 1 \end{cases} $

Данная система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 1. Область допустимых значений является пустым множеством.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

б) $\sqrt[4]{x(2-x)} + \sqrt[3]{x^4(2-x)^7(x+3)^5} + \sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2} + \sqrt[5]{(x+2)(x+6)} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Корни с нечетными показателями ($\sqrt[3]{...}$ и $\sqrt[5]{...}$) определены для любых действительных значений подкоренного выражения. Для корней с четными показателями ($\sqrt[4]{...}$ и $\sqrt[6]{...}$) подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

Рассмотрим условия для корней с четными показателями:

1. Для $\sqrt[4]{x(2-x)}$: $x(2-x) \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in [0, 2]$.

2. Для $\sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2}$: $(x-2)(x+1)x^2 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, это неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} (x-2)(x+1) \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $ или $x=0$.

Решение неравенства $(x-2)(x+1) \ge 0$ дает $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$. Объединяя с $x=0$, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение областей, полученных из условий 1 и 2, чтобы определить ОДЗ всего уравнения:

ОДЗ = $[0, 2] \cap ((-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [2, \infty))$

Пересечением этих множеств являются только две точки: $x=0$ и $x=2$.

Следовательно, решения уравнения, если они существуют, могут быть только $x=0$ или $x=2$. Проверим каждое из этих значений.

Проверка для $x=0$:

Подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{0(2-0)} + \sqrt[3]{0^4(2-0)^7(0+3)^5} + \sqrt[6]{(0-2)(0+1)0^2} + \sqrt[5]{(0+2)(0+6)} = 2$

$\sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[6]{0} + \sqrt[5]{12} = 2$

$0 + 0 + 0 + \sqrt[5]{12} = 2$

$\sqrt[5]{12} = 2$

Это неверно, так как $2^5 = 32 \neq 12$. Значит, $x=0$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x=2$:

Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2(2-2)} + \sqrt[3]{2^4(2-2)^7(2+3)^5} + \sqrt[6]{(2-2)(2+1)2^2} + \sqrt[5]{(2+2)(2+6)} = 2$

$\sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[6]{0} + \sqrt[5]{4 \cdot 8} = 2$

$0 + 0 + 0 + \sqrt[5]{32} = 2$

$2 = 2$

Это верное равенство. Значит, $x=2$ является корнем уравнения.

Ответ: $x=2$.