Номер 141, страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 141, страница 330.

Условие.

141. Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота. Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1, m_2, m_3$ — массы первого, второго и третьего кусков сплава соответственно (в граммах).
• $g_1, g_2, g_3$ — массы золота в первом, втором и третьем кусках соответственно (в граммах).
• $c_1, c_2, c_3$ — концентрация (содержание) золота в первом, втором и третьем сплавах. Концентрация — это отношение массы золота к общей массе куска, т.е. $c_i = g_i / m_i$.

Наша цель — найти $g_1$.

Запишем условия задачи в виде математических уравнений:

1. «Количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска».

Количество золота в 2 г третьего сплава равно $2 \cdot c_3$. Количество золота в 1 г первого и 1 г второго сплава равно $1 \cdot c_1 + 1 \cdot c_2$.

Получаем уравнение: $2c_3 = c_1 + c_2$

2. «Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота».

Из этого условия мы получаем два соотношения:

$m_3 = 4m_1$

$g_3 = 75$ г

Используя эти данные, мы можем найти концентрацию золота в третьем куске:

$c_3 = \frac{g_3}{m_3} = \frac{75}{4m_1}$

3. «Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота».

Масса части первого куска, в которой содержится 10 г золота, равна $\frac{10}{c_1}$.

Масса части второго куска, в которой содержится 80 г золота, равна $\frac{80}{c_2}$.

Следовательно, масса третьего куска: $m_3 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{c_2}$

Теперь объединим все уравнения в систему и решим ее.

Из первого уравнения выразим $c_2$: $c_2 = 2c_3 - c_1$.

Подставим сюда выражение для $c_3 = \frac{75}{4m_1}$:

$c_2 = 2 \cdot \frac{75}{4m_1} - c_1 = \frac{75}{2m_1} - c_1$

Теперь используем третье уравнение. Заменим в нем $m_3$ на $4m_1$:

$4m_1 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{c_2}$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $c_2$:

$4m_1 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{\frac{75}{2m_1} - c_1}$

Цель задачи — найти $g_1$, которое по определению равно $g_1 = c_1 \cdot m_1$. Обозначим искомую величину $g_1$ через $X$. Тогда $c_1 = \frac{X}{m_1}$.

Подставим $c_1 = \frac{X}{m_1}$ в наше уравнение:

$4m_1 = \frac{10}{X/m_1} + \frac{80}{\frac{75}{2m_1} - \frac{X}{m_1}}$

Упростим выражение:

$4m_1 = \frac{10m_1}{X} + \frac{80}{\frac{75 - 2X}{2m_1}}$

$4m_1 = \frac{10m_1}{X} + \frac{80 \cdot 2m_1}{75 - 2X}$

Поскольку масса первого куска $m_1$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $m_1$:

$4 = \frac{10}{X} + \frac{160}{75 - 2X}$

Теперь решим это уравнение относительно $X$. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$4 = \frac{10(75 - 2X) + 160X}{X(75 - 2X)}$

$4X(75 - 2X) = 750 - 20X + 160X$

$300X - 8X^2 = 750 + 140X$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8X^2 + 140X - 300X + 750 = 0$

$8X^2 - 160X + 750 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$4X^2 - 80X + 375 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=4, b=-80, c=375$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 375 = 6400 - 16 \cdot 375 = 6400 - 6000 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения:

$X_1 = \frac{80 + 20}{2 \cdot 4} = \frac{100}{8} = 12.5$

$X_2 = \frac{80 - 20}{2 \cdot 4} = \frac{60}{8} = 7.5$

Оба решения являются математически корректными. В условии задачи нет дополнительных ограничений, которые позволили бы исключить один из корней. Оба варианта приводят к различным, физически возможным концентрациям сплавов.

Ответ: В первом куске содержится 12.5 г или 7.5 г золота.