Номер 137, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 137, страница 329.

Условие.

137. Пассажир метро спускается по движущемуся эскалатору за 24 с. Если же он идет по неподвижному эскалатору с той же скоростью, то спустится вниз за 42 с. За какое время пассажир спустится вниз, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_п$ – скорость пассажира относительно ступенек эскалатора.
• $v_э$ – скорость эскалатора относительно земли.
• $t_1 = 24$ с – время спуска, когда пассажир идет по движущемуся эскалатору.
• $t_2 = 42$ с – время спуска, когда пассажир идет по неподвижному эскалатору.
• $t_3$ – искомое время спуска, когда пассажир стоит на движущемся эскалаторе.

Запишем уравнения движения для каждого из трех случаев, используя формулу пути $S = v \cdot t$.

1. Пассажир идет по движущемуся эскалатору.

В этом случае скорость пассажира относительно земли является суммой его собственной скорости и скорости эскалатора, так как оба движения направлены в одну сторону (вниз).
Суммарная скорость: $v_{общ} = v_п + v_э$.
Уравнение движения: $L = (v_п + v_э) \cdot t_1 = (v_п + v_э) \cdot 24$.

2. Пассажир идет по неподвижному эскалатору.

Скорость эскалатора равна нулю ($v_э = 0$). Скорость пассажира относительно земли равна его собственной скорости $v_п$.
Уравнение движения: $L = v_п \cdot t_2 = v_п \cdot 42$.
Из этого уравнения мы можем выразить скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{42}$.

3. Пассажир стоит на движущемся эскалаторе.

Скорость пассажира относительно ступенек равна нулю ($v_п = 0$). Его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$.
Уравнение движения: $L = v_э \cdot t_3$.
Из этого уравнения можно выразить скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_3}$.

Теперь подставим выражения для $v_п$ и $v_э$ из второго и третьего случаев в уравнение для первого случая:

$L = \left(\frac{L}{42} + \frac{L}{t_3}\right) \cdot 24$

Поскольку длина эскалатора $L$ не может быть равна нулю, мы можем сократить $L$ в обеих частях уравнения:

$1 = \left(\frac{1}{42} + \frac{1}{t_3}\right) \cdot 24$

Разделим обе части на 24:

$\frac{1}{24} = \frac{1}{42} + \frac{1}{t_3}$

Теперь выразим $\frac{1}{t_3}$:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{42}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 42 равно 168 ($24 \cdot 7 = 168$, $42 \cdot 4 = 168$).

$\frac{1}{t_3} = \frac{7}{168} - \frac{4}{168}$

$\frac{1}{t_3} = \frac{3}{168}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{56}$

Отсюда находим искомое время $t_3$:

$t_3 = 56$ с.

Ответ: 56 с.