Номер 133, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 133, страница 329.

Условие.

133. a) $2x \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) = 15,$

$3y \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) = 20,$

$6z \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) = 13;$

б) $\frac{xy}{x + y} = \frac{6}{5},$

$\frac{xz}{x + z} = \frac{3}{4},$

$\frac{2y}{z + y} = \frac{2}{3}.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 2x(\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) = 15, \\ 3y(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) = 20, \\ 6z(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = 13. \end{cases} $
Раскроем скобки в каждом уравнении, умножив на множитель перед скобками: $ \begin{cases} 2\frac{xy}{z} + 2\frac{xz}{y} = 15, \\ 3\frac{yx}{z} + 3\frac{yz}{x} = 20, \\ 6\frac{zx}{y} + 6\frac{zy}{x} = 13. \end{cases} $
Введем новые переменные для упрощения системы: $A = \frac{xy}{z}$, $B = \frac{xz}{y}$, $C = \frac{yz}{x}$.
Подставив новые переменные, получим систему: $ \begin{cases} 2(A + B) = 15, \\ 3(A + C) = 20, \\ 6(B + C) = 13. \end{cases} $
Из этой системы получаем линейную систему относительно $A, B, C$: $ \begin{cases} A + B = \frac{15}{2}, \\ A + C = \frac{20}{3}, \\ B + C = \frac{13}{6}. \end{cases} $
Сложим все три уравнения: $2A+2B+2C = \frac{15}{2} + \frac{20}{3} + \frac{13}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $2(A+B+C) = \frac{45}{6} + \frac{40}{6} + \frac{13}{6} = \frac{45+40+13}{6} = \frac{98}{6} = \frac{49}{3}$.
Отсюда $A+B+C = \frac{49}{6}$.
Теперь найдем значения $A, B, C$, вычитая из последнего уравнения каждое уравнение системы:
$C = (A+B+C) - (A+B) = \frac{49}{6} - \frac{15}{2} = \frac{49-45}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$B = (A+B+C) - (A+C) = \frac{49}{6} - \frac{20}{3} = \frac{49-40}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
$A = (A+B+C) - (B+C) = \frac{49}{6} - \frac{13}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Заметим, что попарные произведения $A, B, C$ дают квадраты переменных $x, y, z$:
$A \cdot B = \frac{xy}{z} \cdot \frac{xz}{y} = x^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$.
$A \cdot C = \frac{xy}{z} \cdot \frac{yz}{x} = y^2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$.
$B \cdot C = \frac{xz}{y} \cdot \frac{yz}{x} = z^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.
Из этого следует, что модули переменных равны:
$|x| = 3$, $|y| = 2$, $|z| = 1$.
Определим знаки переменных. Из того, что $A, B, C$ положительны, следует: $\frac{xy}{z} > 0$, $\frac{xz}{y} > 0$, $\frac{yz}{x} > 0$.
Это возможно, если либо все три переменные положительны, либо ровно две из них отрицательны.
1. $x>0, y>0, z>0$: $(3, 2, 1)$.
2. $x>0, y<0, z<0$: $(3, -2, -1)$.
3. $x<0, y>0, z<0$: $(-3, 2, -1)$.
4. $x<0, y<0, z>0$: $(-3, -2, 1)$.
Эти четыре набора являются решениями системы.
Ответ: $(3, 2, 1)$, $(3, -2, -1)$, $(-3, 2, -1)$, $(-3, -2, 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{xy}{x+y} = \frac{6}{5}, \\ \frac{xz}{x+z} = \frac{3}{4}, \\ \frac{zy}{z+y} = \frac{2}{3}. \end{cases} $
Поскольку правые части не равны нулю, переменные $x, y, z$ также не равны нулю. Перевернем дроби в каждом уравнении: $ \begin{cases} \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{6}, \\ \frac{x+z}{xz} = \frac{4}{3}, \\ \frac{z+y}{zy} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Разделим числитель на знаменатель в левой части каждого уравнения: $ \begin{cases} \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{5}{6}, \\ \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = \frac{4}{3}, \\ \frac{z}{zy} + \frac{y}{zy} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
После сокращения дробей получаем: $ \begin{cases} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3}, \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Для удобства введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$. Система принимает вид простой линейной системы: $ \begin{cases} u + v = \frac{5}{6}, \\ u + w = \frac{4}{3}, \\ v + w = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Сложим все три уравнения: $(u+v) + (u+w) + (v+w) = \frac{5}{6} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2}$.
$2(u+v+w) = \frac{5}{6} + \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.
Отсюда $u+v+w = \frac{11}{6}$.
Теперь легко найти $u, v, w$:
$u = (u+v+w) - (v+w) = \frac{11}{6} - \frac{3}{2} = \frac{11-9}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$v = (u+v+w) - (u+w) = \frac{11}{6} - \frac{4}{3} = \frac{11-8}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$w = (u+v+w) - (u+v) = \frac{11}{6} - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\frac{1}{x} = u = \frac{1}{3} \implies x = 3$.
$\frac{1}{y} = v = \frac{1}{2} \implies y = 2$.
$\frac{1}{z} = w = 1 \implies z = 1$.
Проверка показывает, что решение $(3, 2, 1)$ удовлетворяет исходной системе.
Ответ: $(3, 2, 1)$.