Номер 127, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 127, страница 328.

Условие.

127. a) $\begin{cases} x + y - z = 2, \\ 2x - y + 4z = 1, \\ -x + 6y - z = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + z = -2, \\ x - y + 2z = -7, \\ 2x + 3y - z = 1. \end{cases}$

Решение 5.

а) Для решения данной системы линейных уравнений воспользуемся методом алгебраического сложения (методом исключения).
Исходная система:$\begin{cases} x + y - z = 2, & \text{(1)} \\ 2x - y + 4z = 1, & \text{(2)} \\ -x + 6y - z = 5; & \text{(3)} \end{cases}$
Сначала исключим переменную $x$. Для этого сложим уравнение (1) и уравнение (3):
$(x + y - z) + (-x + 6y - z) = 2 + 5$
$7y - 2z = 7$ (4)
Теперь умножим уравнение (1) на $-2$ и сложим с уравнением (2), чтобы снова исключить $x$:
$-2(x + y - z) + (2x - y + 4z) = -2(2) + 1$
$-2x - 2y + 2z + 2x - y + 4z = -4 + 1$
$-3y + 6z = -3$
Разделим обе части полученного уравнения на $-3$, чтобы упростить его:
$y - 2z = 1$ (5)
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5) с двумя переменными $y$ и $z$:
$\begin{cases} 7y - 2z = 7, \\ y - 2z = 1. \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:
$(7y - 2z) - (y - 2z) = 7 - 1$
$6y = 6$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y=1$ в уравнение (5):
$1 - 2z = 1$
$-2z = 0$
$z = 0$
Наконец, подставим значения $y = 1$ и $z = 0$ в исходное уравнение (1), чтобы найти $x$:
$x + 1 - 0 = 2$
$x = 1$
Проверим решение, подставив значения в остальные уравнения:
(2): $2(1) - 1 + 4(0) = 2 - 1 = 1$. Верно.
(3): $-(1) + 6(1) - 0 = -1 + 6 = 5$. Верно.
Ответ: $x=1, y=1, z=0$.

б) Решим вторую систему уравнений также методом исключения.
Исходная система:$\begin{cases} x + y + z = -2, & \text{(1)} \\ x - y + 2z = -7, & \text{(2)} \\ 2x + 3y - z = 1. & \text{(3)} \end{cases}$
Сложим уравнения (1) и (2), чтобы исключить переменную $y$:
$(x + y + z) + (x - y + 2z) = -2 + (-7)$
$2x + 3z = -9$ (4)
Теперь умножим уравнение (1) на $-3$ и сложим с уравнением (3), чтобы снова исключить $y$:
$-3(x + y + z) + (2x + 3y - z) = -3(-2) + 1$
$-3x - 3y - 3z + 2x + 3y - z = 6 + 1$
$-x - 4z = 7$ (5)
Мы получили новую систему из двух уравнений (4) и (5) с переменными $x$ и $z$:
$\begin{cases} 2x + 3z = -9, \\ -x - 4z = 7. \end{cases}$
Из уравнения (5) выразим $x$:
$-x = 7 + 4z$
$x = -7 - 4z$
Подставим это выражение для $x$ в уравнение (4):
$2(-7 - 4z) + 3z = -9$
$-14 - 8z + 3z = -9$
$-5z = -9 + 14$
$-5z = 5$
$z = -1$
Теперь найдем $x$, подставив $z=-1$ в выражение для $x$:
$x = -7 - 4(-1) = -7 + 4 = -3$
Наконец, подставим найденные значения $x = -3$ и $z = -1$ в исходное уравнение (1):
$-3 + y + (-1) = -2$
$y - 4 = -2$
$y = 2$
Проверим решение, подставив значения в остальные уравнения:
(2): $(-3) - 2 + 2(-1) = -3 - 2 - 2 = -7$. Верно.
(3): $2(-3) + 3(2) - (-1) = -6 + 6 + 1 = 1$. Верно.
Ответ: $x=-3, y=2, z=-1$.