Номер 131, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 131, страница 328.

Условие.

131. a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^2 + xy + y^2 = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x^2 + y^2) \frac{x}{y} = 6, \\ (x^2 - y^2) y = x. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^2 + xy + y^2 = 7; \end{cases} $$

Для решения данной системы удобно использовать подстановку $x = ty$. Заметим, что $y \neq 0$, так как в противном случае из первого уравнения следовало бы $x^2=3$, а из второго $x^2=7$, что невозможно. Подставим $x = ty$ в оба уравнения системы:

$$ \begin{cases} (ty)^2 - y^2 = 3 \\ (ty)^2 + (ty)y + y^2 = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} y^2(t^2 - 1) = 3 \\ y^2(t^2 + t + 1) = 7 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, можно разделить второе уравнение на первое (так как $y^2 \neq 0$ и $t^2-1 \neq 0$):

$$ \frac{y^2(t^2 + t + 1)}{y^2(t^2 - 1)} = \frac{7}{3} $$

Сократив $y^2$, получим уравнение для $t$:

$$ \frac{t^2 + t + 1}{t^2 - 1} = \frac{7}{3} $$

$$ 3(t^2 + t + 1) = 7(t^2 - 1) $$

$$ 3t^2 + 3t + 3 = 7t^2 - 7 $$

$$ 4t^2 - 3t - 10 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

$$ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 13}{8} $$

Отсюда находим два значения для $t$:

$$ t_1 = \frac{3 + 13}{8} = 2 $$

$$ t_2 = \frac{3 - 13}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} $$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $t = 2$. Тогда $x = 2y$. Подставляем в первое уравнение исходной системы:

$$ (2y)^2 - y^2 = 3 \implies 4y^2 - y^2 = 3 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1 $$

Отсюда $y = \pm 1$.
Если $y = 1$, то $x = 2(1) = 2$.
Если $y = -1$, то $x = 2(-1) = -2$.
Получаем решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $t = -5/4$. Тогда $x = -\frac{5}{4}y$. Подставляем в первое уравнение:

$$ \left(-\frac{5}{4}y\right)^2 - y^2 = 3 \implies \frac{25}{16}y^2 - y^2 = 3 \implies \frac{9}{16}y^2 = 3 $$

$$ y^2 = \frac{3 \cdot 16}{9} = \frac{16}{3} \implies y = \pm \sqrt{\frac{16}{3}} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $$

Если $y = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = -\frac{5}{4} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Если $y = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = -\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Получаем решения: $\left(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$, $\left(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + y^2)\frac{x}{y} = 6, \\ (x^2 - y^2)y = x. \end{cases} $$

Из первого уравнения следует, что $y \neq 0$. Из второго уравнения, если $x=0$, то $-y^3=0 \implies y=0$, что противоречит ОДЗ. Значит, $x \neq 0$.
Поскольку $y \neq 0$, преобразуем второе уравнение, разделив его на $y$:

$$ x^2 - y^2 = \frac{x}{y} $$

Подставим полученное выражение для $\frac{x}{y}$ в первое уравнение:

$$ (x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 6 $$

По формуле разности квадратов, это уравнение принимает вид:

$$ x^4 - y^4 = 6 $$

Введем замену $x=ty$, что эквивалентно $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение $x^2 - y^2 = \frac{x}{y}$ становится:

$$ (ty)^2 - y^2 = t \implies y^2(t^2 - 1) = t \implies y^2 = \frac{t}{t^2 - 1} $$

Поскольку $y^2 > 0$, то должно выполняться условие $\frac{t}{t^2 - 1} > 0$.
Теперь используем уравнение $x^4 - y^4 = 6$, которое мы записали как $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 6$.
Мы знаем, что $x^2-y^2=t$. Также $x^2+y^2 = (ty)^2+y^2 = y^2(t^2+1)$. Подставляя это, получаем:

$$ t \cdot y^2(t^2 + 1) = 6 $$

Подставим в это уравнение выражение для $y^2$:

$$ t \cdot \frac{t}{t^2-1} \cdot (t^2+1) = 6 \implies \frac{t^2(t^2+1)}{t^2-1} = 6 $$

$$ t^4 + t^2 = 6(t^2 - 1) \implies t^4 + t^2 = 6t^2 - 6 \implies t^4 - 5t^2 + 6 = 0 $$

Это биквадратное уравнение. Пусть $u = t^2$, тогда $u^2 - 5u + 6 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $u_1=2$ и $u_2=3$.
Возвращаемся к $t$: $t^2=2 \implies t=\pm\sqrt{2}$ и $t^2=3 \implies t=\pm\sqrt{3}$.

Проверим найденные значения $t$ по условию $\frac{t}{t^2-1} > 0$:
- При $t = \sqrt{2}$: $\frac{\sqrt{2}}{2-1} > 0$. Подходит.
- При $t = -\sqrt{2}$: $\frac{-\sqrt{2}}{2-1} < 0$. Не подходит.
- При $t = \sqrt{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{3-1} > 0$. Подходит.
- При $t = -\sqrt{3}$: $\frac{-\sqrt{3}}{3-1} < 0$. Не подходит.

Таким образом, возможны два значения $t$: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Случай 1: $t = \sqrt{2}$.

$$ y^2 = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1} = \sqrt{2} \implies y = \pm\sqrt[4]{2} $$

Так как $x = \sqrt{2}y$:

Если $y=\sqrt[4]{2}$, то $x=\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{2} = 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4} = \sqrt[4]{8}$.

Если $y=-\sqrt[4]{2}$, то $x=-\sqrt[4]{8}$.

Получаем решения: $(\sqrt[4]{8}, \sqrt[4]{2})$ и $(-\sqrt[4]{8}, -\sqrt[4]{2})$.

Случай 2: $t = \sqrt{3}$.

$$ y^2 = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

Так как $x = \sqrt{3}y$:

Если $y=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, то $x=\sqrt{3}\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.

Если $y=-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, то $x=-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.

Получаем решения: $\left(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ и $\left(-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

Ответ: $(\sqrt[4]{8}, \sqrt[4]{2})$, $(-\sqrt[4]{8}, -\sqrt[4]{2})$, $\left(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$, $\left(-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.