Номер 129, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 129, страница 328.
№129 (с. 328)
Условие. №129 (с. 328)
скриншот условия

129. a) $\begin{cases} x - y + xy = 17, \\ x^2 + y^2 = 34; \end{cases}$
б) $\begin{cases} (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10, \\ (x - y)(xy + 1) = -3. \end{cases}$
Решение 3. №129 (с. 328)


Решение 5. №129 (с. 328)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x - y + xy = 17 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $$
Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $u = x - y$ и $v = xy$.
Тогда первое уравнение системы примет вид:
$u + v = 17$
Второе уравнение преобразуем, используя тождество $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$.
Подставив известные значения и новые переменные, получим:
$34 = u^2 + 2v$
Теперь решим систему уравнений относительно $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u + v = 17 \\ u^2 + 2v = 34 \end{cases} $$
Из первого уравнения выразим $v$: $v = 17 - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$u^2 + 2(17 - u) = 34$
$u^2 + 34 - 2u = 34$
$u^2 - 2u = 0$
$u(u - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $u$: $u_1 = 0$ и $u_2 = 2$.
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $u = 0$.
Тогда $v = 17 - u = 17 - 0 = 17$.
Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$, решая систему:
$$ \begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 17 \end{cases} $$
Из первого уравнения следует, что $x = y$. Подставим это во второе уравнение:
$y \cdot y = 17 \implies y^2 = 17 \implies y = \pm\sqrt{17}$.
Так как $x = y$, получаем две пары решений: $(\sqrt{17}, \sqrt{17})$ и $(-\sqrt{17}, -\sqrt{17})$.
Случай 2: $u = 2$.
Тогда $v = 17 - u = 17 - 2 = 15$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 15 \end{cases} $$
Из первого уравнения выражаем $x = y + 2$. Подставляем во второе:
$(y + 2)y = 15$
$y^2 + 2y - 15 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.
Если $y = 3$, то $x = 3 + 2 = 5$. Получаем решение $(5, 3)$.
Если $y = -5$, то $x = -5 + 2 = -3$. Получаем решение $(-3, -5)$.
Таким образом, исходная система имеет четыре пары решений.
Ответ: $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(\sqrt{17}, \sqrt{17})$, $(-\sqrt{17}, -\sqrt{17})$.
б)Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} (x^2+1)(y^2+1) = 10 \\ (x-y)(xy+1) = -3 \end{cases} $$
Раскроем скобки в обоих уравнениях.
Первое уравнение: $x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 10 \implies (xy)^2 + (x^2 + y^2) = 9$.
Второе уравнение: $xy(x-y) + (x-y) = -3$.
Введем новые переменные: $u = x-y$ и $v = xy$.
Второе уравнение в новых переменных запишется как: $u \cdot v + u = -3$, или $u(v+1) = -3$.
Для преобразования первого уравнения выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy = u^2 + 2v$.
Подставим в преобразованное первое уравнение:
$v^2 + (u^2 + 2v) = 9 \implies u^2 + v^2 + 2v = 9$.
Получаем систему уравнений относительно $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u^2 + v^2 + 2v = 9 \\ u(v+1) = -3 \end{cases} $$
Из второго уравнения (при $v \ne -1$) выразим $u$: $u = \frac{-3}{v+1}$.
Подставим это в первое уравнение:
$\left(\frac{-3}{v+1}\right)^2 + v^2 + 2v = 9$
$\frac{9}{(v+1)^2} + (v^2 + 2v + 1) - 1 = 9$
$\frac{9}{(v+1)^2} + (v+1)^2 = 10$
Сделаем замену: пусть $z = (v+1)^2$. Так как $v \ne -1$, то $z>0$.
$\frac{9}{z} + z = 10$
Умножим на $z$: $9 + z^2 = 10z \implies z^2 - 10z + 9 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = 9$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $z = 1 \implies (v+1)^2 = 1 \implies v+1 = \pm 1$. Отсюда $v = 0$ или $v = -2$.
Если $v=0$, то $u = \frac{-3}{0+1} = -3$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = -3 \\ xy = 0 \end{cases}$. Решения: $(-3, 0)$ и $(0, 3)$.
Если $v=-2$, то $u = \frac{-3}{-2+1} = 3$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = 3 \\ xy = -2 \end{cases}$. Подставляя $x=y+3$ во второе уравнение, получаем $y^2+3y+2=0$, откуда $y=-1$ или $y=-2$. Решения: $(2, -1)$ и $(1, -2)$.
Случай 2: $z = 9 \implies (v+1)^2 = 9 \implies v+1 = \pm 3$. Отсюда $v = 2$ или $v = -4$.
Если $v=2$, то $u = \frac{-3}{2+1} = -1$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = -1 \\ xy = 2 \end{cases}$. Подставляя $x=y-1$ во второе уравнение, получаем $y^2-y-2=0$, откуда $y=2$ или $y=-1$. Решения: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.
Если $v=-4$, то $u = \frac{-3}{-4+1} = 1$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = 1 \\ xy = -4 \end{cases}$. Подставляя $x=y+1$ во второе уравнение, получаем $y^2+y+4=0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$, поэтому действительных решений в этом подслучае нет.
Объединяя все найденные решения, получаем шесть пар.
Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(2, -1)$, $(1, -2)$, $(1, 2)$, $(-2, -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 129 расположенного на странице 328 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №129 (с. 328), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.