Номер 129, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 129, страница 328.

Условие.

129. a) $\begin{cases} x - y + xy = 17, \\ x^2 + y^2 = 34; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10, \\ (x - y)(xy + 1) = -3. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y + xy = 17 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $$

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $u = x - y$ и $v = xy$.

Тогда первое уравнение системы примет вид:

$u + v = 17$

Второе уравнение преобразуем, используя тождество $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$.

Подставив известные значения и новые переменные, получим:

$34 = u^2 + 2v$

Теперь решим систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u + v = 17 \\ u^2 + 2v = 34 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 17 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + 2(17 - u) = 34$

$u^2 + 34 - 2u = 34$

$u^2 - 2u = 0$

$u(u - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $u$: $u_1 = 0$ и $u_2 = 2$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $u = 0$.

Тогда $v = 17 - u = 17 - 0 = 17$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$, решая систему:

$$ \begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 17 \end{cases} $$

Из первого уравнения следует, что $x = y$. Подставим это во второе уравнение:

$y \cdot y = 17 \implies y^2 = 17 \implies y = \pm\sqrt{17}$.

Так как $x = y$, получаем две пары решений: $(\sqrt{17}, \sqrt{17})$ и $(-\sqrt{17}, -\sqrt{17})$.

Случай 2: $u = 2$.

Тогда $v = 17 - u = 17 - 2 = 15$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 15 \end{cases} $$

Из первого уравнения выражаем $x = y + 2$. Подставляем во второе:

$(y + 2)y = 15$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.

Если $y = 3$, то $x = 3 + 2 = 5$. Получаем решение $(5, 3)$.

Если $y = -5$, то $x = -5 + 2 = -3$. Получаем решение $(-3, -5)$.

Таким образом, исходная система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(\sqrt{17}, \sqrt{17})$, $(-\sqrt{17}, -\sqrt{17})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2+1)(y^2+1) = 10 \\ (x-y)(xy+1) = -3 \end{cases} $$

Раскроем скобки в обоих уравнениях.

Первое уравнение: $x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 10 \implies (xy)^2 + (x^2 + y^2) = 9$.

Второе уравнение: $xy(x-y) + (x-y) = -3$.

Введем новые переменные: $u = x-y$ и $v = xy$.

Второе уравнение в новых переменных запишется как: $u \cdot v + u = -3$, или $u(v+1) = -3$.

Для преобразования первого уравнения выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy = u^2 + 2v$.

Подставим в преобразованное первое уравнение:

$v^2 + (u^2 + 2v) = 9 \implies u^2 + v^2 + 2v = 9$.

Получаем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u^2 + v^2 + 2v = 9 \\ u(v+1) = -3 \end{cases} $$

Из второго уравнения (при $v \ne -1$) выразим $u$: $u = \frac{-3}{v+1}$.

Подставим это в первое уравнение:

$\left(\frac{-3}{v+1}\right)^2 + v^2 + 2v = 9$

$\frac{9}{(v+1)^2} + (v^2 + 2v + 1) - 1 = 9$

$\frac{9}{(v+1)^2} + (v+1)^2 = 10$

Сделаем замену: пусть $z = (v+1)^2$. Так как $v \ne -1$, то $z>0$.

$\frac{9}{z} + z = 10$

Умножим на $z$: $9 + z^2 = 10z \implies z^2 - 10z + 9 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = 9$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $z = 1 \implies (v+1)^2 = 1 \implies v+1 = \pm 1$. Отсюда $v = 0$ или $v = -2$.

Если $v=0$, то $u = \frac{-3}{0+1} = -3$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = -3 \\ xy = 0 \end{cases}$. Решения: $(-3, 0)$ и $(0, 3)$.

Если $v=-2$, то $u = \frac{-3}{-2+1} = 3$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = 3 \\ xy = -2 \end{cases}$. Подставляя $x=y+3$ во второе уравнение, получаем $y^2+3y+2=0$, откуда $y=-1$ или $y=-2$. Решения: $(2, -1)$ и $(1, -2)$.

Случай 2: $z = 9 \implies (v+1)^2 = 9 \implies v+1 = \pm 3$. Отсюда $v = 2$ или $v = -4$.

Если $v=2$, то $u = \frac{-3}{2+1} = -1$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = -1 \\ xy = 2 \end{cases}$. Подставляя $x=y-1$ во второе уравнение, получаем $y^2-y-2=0$, откуда $y=2$ или $y=-1$. Решения: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Если $v=-4$, то $u = \frac{-3}{-4+1} = 1$. Решаем систему $\begin{cases} x-y = 1 \\ xy = -4 \end{cases}$. Подставляя $x=y+1$ во второе уравнение, получаем $y^2+y+4=0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$, поэтому действительных решений в этом подслучае нет.

Объединяя все найденные решения, получаем шесть пар.

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(2, -1)$, $(1, -2)$, $(1, 2)$, $(-2, -1)$.