Номер 123, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 123, страница 328.
№123 (с. 328)
Условие. №123 (с. 328)
скриншот условия

123. $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0 (a^2 + b^2 \neq 0)$
Решение 5. №123 (с. 328)
Требуется доказать неравенство $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0$ при условии $a^2 + b^2 \neq 0$, что означает, что числа $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.
Для доказательства преобразуем левую часть неравенства, представив ее в виде суммы неотрицательных слагаемых. Этого можно достичь путем перегруппировки членов и использования формул сокращенного умножения.
Представим выражение $5a^2 - 6ab + 5b^2$ следующим образом, выделив из него выражение, похожее на квадрат разности:
$5a^2 - 6ab + 5b^2 = (3a^2 - 6ab + 3b^2) + 2a^2 + 2b^2$
В выражении в скобках вынесем общий множитель 3. Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель 2:
$3(a^2 - 2ab + b^2) + 2(a^2 + b^2)$
Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, мы получаем тождественное преобразование:
$5a^2 - 6ab + 5b^2 = 3(a-b)^2 + 2(a^2 + b^2)$
Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она состоит из суммы двух слагаемых:
1. Первое слагаемое $3(a-b)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, $(a-b)^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 3 сохраняет это свойство, следовательно, $3(a-b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$.
2. Второе слагаемое $2(a^2 + b^2)$. Сумма квадратов $a^2 + b^2$ также всегда неотрицательна. Однако по условию задачи $a^2 + b^2 \neq 0$, что означает, что эта сумма не может быть равна нулю. Следовательно, $a^2 + b^2$ является строго положительной величиной: $a^2 + b^2 > 0$. Умножение на положительное число 2 также сохраняет знак, поэтому $2(a^2 + b^2) > 0$.
В итоге мы представляем исходное выражение как сумму неотрицательного и строго положительного слагаемых:
$5a^2 - 6ab + 5b^2 = \underbrace{3(a-b)^2}_{\ge 0} + \underbrace{2(a^2 + b^2)}_{> 0}$
Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда является строго положительным числом. Следовательно, $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0$ при заданном условии.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 123 расположенного на странице 328 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №123 (с. 328), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.