Номер 123, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 123, страница 328.

Условие.

123. $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0 (a^2 + b^2 \neq 0)$

Решение 5.

Требуется доказать неравенство $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0$ при условии $a^2 + b^2 \neq 0$, что означает, что числа $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

Для доказательства преобразуем левую часть неравенства, представив ее в виде суммы неотрицательных слагаемых. Этого можно достичь путем перегруппировки членов и использования формул сокращенного умножения.

Представим выражение $5a^2 - 6ab + 5b^2$ следующим образом, выделив из него выражение, похожее на квадрат разности:

$5a^2 - 6ab + 5b^2 = (3a^2 - 6ab + 3b^2) + 2a^2 + 2b^2$

В выражении в скобках вынесем общий множитель 3. Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель 2:

$3(a^2 - 2ab + b^2) + 2(a^2 + b^2)$

Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, мы получаем тождественное преобразование:

$5a^2 - 6ab + 5b^2 = 3(a-b)^2 + 2(a^2 + b^2)$

Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она состоит из суммы двух слагаемых:

1. Первое слагаемое $3(a-b)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, $(a-b)^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 3 сохраняет это свойство, следовательно, $3(a-b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$.

2. Второе слагаемое $2(a^2 + b^2)$. Сумма квадратов $a^2 + b^2$ также всегда неотрицательна. Однако по условию задачи $a^2 + b^2 \neq 0$, что означает, что эта сумма не может быть равна нулю. Следовательно, $a^2 + b^2$ является строго положительной величиной: $a^2 + b^2 > 0$. Умножение на положительное число 2 также сохраняет знак, поэтому $2(a^2 + b^2) > 0$.

В итоге мы представляем исходное выражение как сумму неотрицательного и строго положительного слагаемых:

$5a^2 - 6ab + 5b^2 = \underbrace{3(a-b)^2}_{\ge 0} + \underbrace{2(a^2 + b^2)}_{> 0}$

Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда является строго положительным числом. Следовательно, $5a^2 - 6ab + 5b^2 > 0$ при заданном условии.

Ответ: Неравенство доказано.