Номер 125, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 125, страница 328.

Условие.

Решите системы уравнений (125—134).

125. а) $\begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 3a^3, \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 15a^3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21, \\ y^2 - 2xy + 15 = 0. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 3a^3, \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 15a^3. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$$ (x - y)(x - y)(x + y) = 3a^3 \implies (x - y)^2(x + y) = 3a^3 \quad (1) $$

Второе уравнение системы:

$$ (x + y)(x^2 + y^2) = 15a^3 \quad (2) $$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} (x - y)^2(x + y) = 0, \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 0. \end{cases} $$

Из первого уравнения следует, что либо $x - y = 0$, либо $x + y = 0$.

Если $x + y = 0$, то $y = -x$. Подставим во второе уравнение: $(x + (-x))(x^2 + (-x)^2) = 0 \cdot (2x^2) = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Таким образом, все пары вида $(k, -k)$, где $k \in \mathbb{R}$, являются решениями системы при $a=0$.

Если $x - y = 0$, то $x = y$. Подставим во второе уравнение: $(x + x)(x^2 + x^2) = (2x)(2x^2) = 4x^3 = 0$, откуда $x = 0$. Следовательно, $y = 0$. Решение $(0, 0)$ является частным случаем решения $y = -x$ при $x=0$.

Итак, при $a=0$ решением системы является множество пар $(x, y)$, таких что $y = -x$.

Случай 2: $a \neq 0$

В этом случае правые части уравнений не равны нулю, значит, $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$$ \frac{(x + y)(x^2 + y^2)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{15a^3}{3a^3} $$

$$ \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2} = 5 $$

Раскроем скобки и упростим:

$$ x^2 + y^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) $$

$$ x^2 + y^2 = 5x^2 - 10xy + 5y^2 $$

$$ 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 0 $$

Разделим на 2:

$$ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$

Это однородное уравнение. Поскольку $a \neq 0$, то $x=0, y=0$ не является решением. Можем разделить уравнение на $y^2$ (если $y=0$, то и $x=0$):

$$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0 $$

Пусть $t = x/y$. Получаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

1) $x/y = 2 \implies x = 2y$. Подставим это соотношение в уравнение (1):

$$ (2y - y)^2(2y + y) = 3a^3 \implies y^2(3y) = 3a^3 \implies 3y^3 = 3a^3 \implies y = a. $$

Тогда $x = 2y = 2a$. Получаем решение $(2a, a)$.

2) $x/y = 1/2 \implies y = 2x$. Подставим это соотношение в уравнение (1):

$$ (x - 2x)^2(x + 2x) = 3a^3 \implies (-x)^2(3x) = 3a^3 \implies 3x^3 = 3a^3 \implies x = a. $$

Тогда $y = 2x = 2a$. Получаем решение $(a, 2a)$.

Ответ: при $a=0$ решением является множество пар $(k, -k)$ для любого $k \in \mathbb{R}$; при $a \neq 0$ решениями являются пары $(2a, a)$ и $(a, 2a)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21, \\ y^2 - 2xy + 15 = 0. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения системы второе уравнение:

$$ (x^2 - xy + y^2) - (y^2 - 2xy + 15) = 21 - 0 $$

$$ x^2 - xy + y^2 - y^2 + 2xy - 15 = 21 $$

$$ x^2 + xy = 36 $$

Из полученного уравнения выразим $xy$:

$$ xy = 36 - x^2 $$

Заметим, что $x \neq 0$, иначе $0=36$. Тогда можем выразить $y$:

$$ y = \frac{36 - x^2}{x} $$

Подставим выражение для $xy$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - xy + y^2 = 21$:

$$ x^2 - (36 - x^2) + y^2 = 21 \implies 2x^2 - 36 + y^2 = 21 \implies y^2 = 57 - 2x^2 $$

Теперь воспользуемся тем, что $(xy)^2 = x^2y^2$. Подставим полученные выражения для $xy$ и $y^2$:

$$ (36 - x^2)^2 = x^2(57 - 2x^2) $$

Раскроем скобки:

$$ 1296 - 72x^2 + x^4 = 57x^2 - 2x^4 $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ 3x^4 - 129x^2 + 1296 = 0 $$

Разделим уравнение на 3:

$$ x^4 - 43x^2 + 432 = 0 $$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$, где $u \ge 0$:

$$ u^2 - 43u + 432 = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$$ D = (-43)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 432 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2 $$

$$ u_1 = \frac{43 - 11}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$

$$ u_2 = \frac{43 + 11}{2} = \frac{54}{2} = 27 $$

Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $x^2 = 16$

Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Если $x=4$, то $y = \frac{36 - x^2}{x} = \frac{36 - 16}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Если $x=-4$, то $y = \frac{36 - x^2}{x} = \frac{36 - 16}{-4} = \frac{20}{-4} = -5$.

Случай 2: $x^2 = 27$

Отсюда $x_3 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ и $x_4 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$.

Если $x=3\sqrt{3}$, то $y = \frac{36 - x^2}{x} = \frac{36 - 27}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Если $x=-3\sqrt{3}$, то $y = \frac{36 - x^2}{x} = \frac{36 - 27}{-3\sqrt{3}} = \frac{9}{-3\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

Проверка показывает, что все четыре пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.