Номер 134, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 134, страница 329.

Условие.

134. a) $\begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4,\\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8,\\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x^2 + 4y + 1 = 0,\\ 4y^2 + 4z + 1 = 0,\\ 4z^2 + 4x + 1 = 0. \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + z = 4,\\ x^2 + y^2 + z^2 = 14,\\ xy + xz + yz = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37,\\ x^2 + xz + z^2 = 28,\\ y^2 + yz + z^2 = 19. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4, & (1) \\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8, & (2) \\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2; & (3) \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $A = x^3$, $B = y^3$, $C = z^3$ и $D = xyz$. Система примет вид линейной системы относительно $A, B, C$:

$ \begin{cases} A + B - C - D = -4, \\ A - B + C - D = 8, \\ -A + B + C - D = -2. \end{cases} $

Будем решать эту систему. Сложим попарно уравнения:

Складываем (1) и (2):

$(A + B - C - D) + (A - B + C - D) = -4 + 8$

$2A - 2D = 4 \implies A - D = 2 \implies A = D + 2$.

Складываем (1) и (3):

$(A + B - C - D) + (-A + B + C - D) = -4 - 2$

$2B - 2D = -6 \implies B - D = -3 \implies B = D - 3$.

Складываем (2) и (3):

$(A - B + C - D) + (-A + B + C - D) = 8 - 2$

$2C - 2D = 6 \implies C - D = 3 \implies C = D + 3$.

Теперь вернемся к исходным переменным:

$x^3 = D + 2$

$y^3 = D - 3$

$z^3 = D + 3$

где $D = xyz$.

Перемножим эти три равенства:

$x^3 y^3 z^3 = (D + 2)(D - 3)(D + 3)$

$(xyz)^3 = (D + 2)(D^2 - 9)$

Так как $D = xyz$, получаем:

$D^3 = D^3 - 9D + 2D^2 - 18$

$0 = 2D^2 - 9D - 18$

Мы получили квадратное уравнение относительно $D$. Решим его:

Дискриминант $\Delta = (-9)^2 - 4(2)(-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

$D = \frac{9 \pm 15}{4}$

Получаем два возможных значения для $D$:

$D_1 = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$D_2 = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $D = 6$.

$x^3 = 6 + 2 = 8 \implies x = 2$

$y^3 = 6 - 3 = 3 \implies y = \sqrt[3]{3}$

$z^3 = 6 + 3 = 9 \implies z = \sqrt[3]{9}$

Проверим, выполняется ли условие $xyz = D$: $2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = 2 \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$. Условие выполняется.

Первое решение: $(2, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$.

Случай 2: $D = -3/2$.

$x^3 = -3/2 + 2 = 1/2 \implies x = \sqrt[3]{1/2}$

$y^3 = -3/2 - 3 = -9/2 \implies y = \sqrt[3]{-9/2} = -\sqrt[3]{9/2}$

$z^3 = -3/2 + 3 = 3/2 \implies z = \sqrt[3]{3/2}$

Проверим, выполняется ли условие $xyz = D$: $\sqrt[3]{1/2} \cdot (-\sqrt[3]{9/2}) \cdot \sqrt[3]{3/2} = -\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 9 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$. Условие выполняется.

Второе решение: $(\sqrt[3]{1/2}, -\sqrt[3]{9/2}, \sqrt[3]{3/2})$.

Ответ: $(2, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$, $(\sqrt[3]{1/2}, -\sqrt[3]{9/2}, \sqrt[3]{3/2})$.

---

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x^2 + 4y + 1 = 0, & (1) \\ 4y^2 + 4z + 1 = 0, & (2) \\ 4z^2 + 4x + 1 = 0. & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(4x^2 + 4y + 1) + (4y^2 + 4z + 1) + (4z^2 + 4x + 1) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 + 4x) + (4y^2 + 4y) + (4z^2 + 4z) + 3 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата, прибавив и вычтя 1 в каждой скобке (что в сумме равно 3, которые у нас есть):

$(4x^2 + 4x + 1) + (4y^2 + 4y + 1) + (4z^2 + 4z + 1) = 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(2x + 1)^2 + (2y + 1)^2 + (2z + 1)^2 = 0$

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю.

$(2x + 1)^2 = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$

$(2y + 1)^2 = 0 \implies 2y + 1 = 0 \implies y = -1/2$

$(2z + 1)^2 = 0 \implies 2z + 1 = 0 \implies z = -1/2$

Таким образом, мы нашли единственное действительное решение системы.

Проверим его, подставив в первое уравнение (остальные из-за симметрии будут идентичны):

$4(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 1 = 4(1/4) - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Равенство выполняется.

Ответ: $x = -1/2, y = -1/2, z = -1/2$.

---

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 4, & (1) \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14, & (2) \\ xy + xz + yz = 9. & (3) \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся известным алгебраическим тождеством:

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)$

Подставим в это тождество значения, данные в уравнениях системы.

Из уравнения (1) имеем $x + y + z = 4$.

Из уравнения (2) имеем $x^2 + y^2 + z^2 = 14$.

Из уравнения (3) имеем $xy + xz + yz = 9$.

Подстановка дает:

$(4)^2 = 14 + 2(9)$

$16 = 14 + 18$

$16 = 32$

Мы получили неверное равенство. Это означает, что данные в системе уравнения противоречат друг другу. Следовательно, система несовместна и не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

---

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37, & (1) \\ x^2 + xz + z^2 = 28, & (2) \\ y^2 + yz + z^2 = 19. & (3) \end{cases} $

Вычтем уравнения попарно:

$(1) - (2): (x^2 + xy + y^2) - (x^2 + xz + z^2) = 37 - 28$

$xy - xz + y^2 - z^2 = 9$

$x(y - z) + (y - z)(y + z) = 9$

$(y - z)(x + y + z) = 9 \quad (*)$

$(2) - (3): (x^2 + xz + z^2) - (y^2 + yz + z^2) = 28 - 19$

$x^2 - y^2 + xz - yz = 9$

$(x - y)(x + y) + z(x - y) = 9$

$(x - y)(x + y + z) = 9 \quad (**)$

Из $(*)$ и $(**)$ следует, что $(y - z)(x + y + z) = (x - y)(x + y + z)$.

Если $x+y+z \ne 0$, то $y - z = x - y \implies 2y = x + z$.

Подставим $x+z=2y$ в выражение $x+y+z$: $x+y+z = (x+z)+y = 2y+y = 3y$.

Теперь подставим $x+y+z=3y$ в уравнение $(**)$:

$(x - y)(3y) = 9 \implies xy - y^2 = 3 \implies xy = y^2 + 3$.

Отсюда $x = \frac{y^2+3}{y} = y + \frac{3}{y}$ (если $y \ne 0$).

Из $x+z = 2y$ найдем $z$: $z = 2y - x = 2y - (y + \frac{3}{y}) = y - \frac{3}{y}$.

Теперь у нас есть выражения для $x$ и $z$ через $y$. Подставим их в одно из исходных уравнений, например, в (3):

$y^2 + y(y - \frac{3}{y}) + (y - \frac{3}{y})^2 = 19$

$y^2 + y^2 - 3 + (y^2 - 6 + \frac{9}{y^2}) = 19$

$3y^2 - 9 + \frac{9}{y^2} = 19$

$3y^2 + \frac{9}{y^2} - 28 = 0$

Умножим на $y^2$ (случай $y=0$ невозможен, так как привел бы к делению на ноль):

$3(y^2)^2 - 28y^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Пусть $u = y^2$ ($u > 0$):

$3u^2 - 28u + 9 = 0$

Дискриминант $\Delta = (-28)^2 - 4(3)(9) = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

$u = \frac{28 \pm 26}{6}$

$u_1 = \frac{28+26}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$u_2 = \frac{28-26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Рассмотрим оба варианта для $u=y^2$:

Случай 1: $y^2 = 9 \implies y = 3$ или $y = -3$.

Если $y=3$: $x = 3 + 3/3 = 4$, $z = 3 - 3/3 = 2$. Решение: $(4, 3, 2)$.

Если $y=-3$: $x = -3 + 3/(-3) = -4$, $z = -3 - 3/(-3) = -2$. Решение: $(-4, -3, -2)$.

Случай 2: $y^2 = 1/3 \implies y = 1/\sqrt{3}$ или $y = -1/\sqrt{3}$.

Если $y=1/\sqrt{3}$: $x = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 3\sqrt{3} = \frac{1+9}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$. $z = \frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{1-9}{\sqrt{3}} = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Решение: $(\frac{10}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{8}{\sqrt{3}})$.

Если $y=-1/\sqrt{3}$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{-1/\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = -\frac{10}{\sqrt{3}}$. $z = -\frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$. Решение: $(-\frac{10}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{8}{\sqrt{3}})$.

Проверка показывает, что все четыре набора чисел являются решениями системы. Также отметим, что если $(x, y, z)$ является решением, то и $(-x, -y, -z)$ также является решением, что мы и получили.

Ответ: $(4, 3, 2)$; $(-4, -3, -2)$; $(\frac{10\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{8\sqrt{3}}{3})$; $(-\frac{10\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8\sqrt{3}}{3})$.