Номер 147, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 147, страница 331.

Условие.

147. a) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 2;$

б) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. $x-1-2\sqrt{x-2} \ge 0$.

3. $x+7-6\sqrt{x-2} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x-1-2\sqrt{x-2} = (x-2) - 2\sqrt{x-2} + 1 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-2} + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+7-6\sqrt{x-2} = x+7-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-2}$. Попробуем представить это в виде $(a-b)^2$, где $a=3$ и $b=\sqrt{x-2}$. Проверим: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{x-2})^2 = 9 + x-2 = x+7$. Это совпадает с оставшимися членами выражения. Таким образом, $x+7-6\sqrt{x-2} = (3-\sqrt{x-2})^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(3-\sqrt{x-2})^2} = 2$

$|\sqrt{x-2}-1| + |3-\sqrt{x-2}| = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$|t-1| + |3-t| = 2$, или $|t-1| + |t-3| = 2$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $t$.

1) При $0 \le t < 1$:

$-(t-1) - (t-3) = 2$

$1-t + 3-t = 2$

$4 - 2t = 2$

$2t = 2 \implies t=1$. Это значение не входит в интервал $t<1$, поэтому в этом интервале решений нет.

2) При $1 \le t \le 3$:

$(t-1) - (t-3) = 2$

$t-1-t+3 = 2$

$2 = 2$.

Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из отрезка $[1, 3]$.

3) При $t > 3$:

$(t-1) + (t-3) = 2$

$2t-4 = 2$

$2t = 6 \implies t=3$. Это значение не входит в интервал $t>3$, но является его границей и уже включено в решение из предыдущего случая.

Таким образом, решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le \sqrt{x-2} \le 3$.

Так как все части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$1^2 \le (\sqrt{x-2})^2 \le 3^2$

$1 \le x-2 \le 9$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$3 \le x \le 11$.

Данный отрезок удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $x \in [3; 11]$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x+3-4\sqrt{x-1} \ge 0$.

3. $x+8-6\sqrt{x-1} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, как и в предыдущем задании.

Для первого слагаемого: $x+3-4\sqrt{x-1} = x+3-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1}$. Представим в виде $(a-b)^2$, где $a=2, b=\sqrt{x-1}$. Проверим: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{x-1})^2 = 4 + x-1 = x+3$. Выражение совпало. Таким образом, $x+3-4\sqrt{x-1} = (2-\sqrt{x-1})^2$.

Для второго слагаемого: $x+8-6\sqrt{x-1} = x+8-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-1}$. Представим в виде $(a-b)^2$, где $a=3, b=\sqrt{x-1}$. Проверим: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{x-1})^2 = 9 + x-1 = x+8$. Выражение совпало. Таким образом, $x+8-6\sqrt{x-1} = (3-\sqrt{x-1})^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(2-\sqrt{x-1})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{x-1})^2} = 1$

$|2-\sqrt{x-1}| + |3-\sqrt{x-1}| = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Поскольку $x \ge 1$, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$|2-t| + |3-t| = 1$, или $|t-2| + |t-3| = 1$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $t$.

1) При $0 \le t < 2$:

$-(t-2) - (t-3) = 1$

$2-t + 3-t = 1$

$5 - 2t = 1$

$2t = 4 \implies t=2$. Это значение не входит в интервал $t<2$.

2) При $2 \le t \le 3$:

$(t-2) - (t-3) = 1$

$t-2-t+3 = 1$

$1 = 1$.

Это верное тождество, значит, уравнение выполняется для всех $t$ из отрезка $[2, 3]$.

3) При $t > 3$:

$(t-2) + (t-3) = 1$

$2t - 5 = 1$

$2t = 6 \implies t=3$. Это значение не входит в интервал $t>3$, но является его границей.

Таким образом, решением для $t$ является отрезок $2 \le t \le 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2 \le \sqrt{x-1} \le 3$.

Так как все части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$2^2 \le (\sqrt{x-1})^2 \le 3^2$

$4 \le x-1 \le 9$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$5 \le x \le 10$.

Данный отрезок удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $x \in [5; 10]$.