Номер 151, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 151, страница 331.

Условие.

151. a) $\frac{\sqrt[7]{12+x}}{x} + \frac{\sqrt[7]{12+x}}{12} = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x}$

б) $x^2 - 5x - 4\sqrt{x} + 13 = 0$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано иррациональное уравнение: $ \frac{\sqrt[7]{12+x}}{x} + \frac{\sqrt[7]{12+x}}{12} = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $x \neq 0$. Поскольку корень седьмой степени определен для любых действительных чисел, других ограничений нет.

Вынесем общий множитель $ \sqrt[7]{12+x} $ в левой части уравнения:

$ \sqrt[7]{12+x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{12} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \sqrt[7]{12+x} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[7]{x} $

Поскольку $x \neq 0$, то и $\sqrt[7]{x} \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[7]{x}$:

$ \frac{\sqrt[7]{12+x}}{\sqrt[7]{x}} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3} $

Используя свойство корня $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $, получаем:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} \left( \frac{12+x}{12x} \right) = \frac{64}{3} $

Заметим, что выражение $ \frac{12+x}{x} $ присутствует в уравнении дважды. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} $. Тогда $ t^7 = \frac{12+x}{x} $.

Выражение в скобках можно переписать через $t$:

$ \frac{12+x}{12x} = \frac{1}{12} \cdot \frac{12+x}{x} = \frac{1}{12}t^7 $

Подставим замену в уравнение:

$ t \cdot \left( \frac{1}{12}t^7 \right) = \frac{64}{3} $

$ \frac{t^8}{12} = \frac{64}{3} $

Выразим $t^8$:

$ t^8 = \frac{64 \cdot 12}{3} = 64 \cdot 4 = 256 $

Так как $256 = 2^8$, уравнение принимает вид $ t^8 = 2^8 $.

Отсюда получаем два возможных действительных значения для $t$: $t_1=2$ и $t_2=-2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Случай $ t = 2 $:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} = 2 $

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$ \frac{12+x}{x} = 2^7 = 128 $

$ 12+x = 128x $

$ 127x = 12 $

$ x_1 = \frac{12}{127} $

2) Случай $ t = -2 $:

$ \sqrt[7]{\frac{12+x}{x}} = -2 $

Возведем обе части уравнения в седьмую степень:

$ \frac{12+x}{x} = (-2)^7 = -128 $

$ 12+x = -128x $

$ 129x = -12 $

$ x_2 = -\frac{12}{129} = -\frac{4}{43} $

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x_1 = \frac{12}{127}, x_2 = -\frac{4}{43}$.

б)

Дано уравнение: $ x^2 - 5x - 4\sqrt{x} + 13 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня $ \sqrt{x} $, что требует $x \ge 0$.

Для решения этого уравнения попробуем преобразовать его левую часть, выделив полные квадраты. Для этого представим $-5x$ как $-6x+x$, а $13$ как $9+4$:

$ x^2 - 6x + 9 + x - 4\sqrt{x} + 4 = 0 $

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$ (x^2 - 6x + 9) + (x - 4\sqrt{x} + 4) = 0 $

Первая группа слагаемых $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.

Вторую группу слагаемых $x - 4\sqrt{x} + 4$ можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $ \sqrt{x} $: $ (\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x} + 4 $, что, в свою очередь, является полным квадратом разности $ (\sqrt{x}-2)^2 $.

Подставив эти выражения в уравнение, получим:

$ (x-3)^2 + (\sqrt{x}-2)^2 = 0 $

В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $ (x-3)^2 \ge 0 $ и $ (\sqrt{x}-2)^2 \ge 0 $). Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} x-3=0 \\ \sqrt{x}-2=0 \end{cases} $

Решим эту систему:

Из первого уравнения получаем $x=3$.

Из второго уравнения получаем $\sqrt{x}=2$, что после возведения в квадрат дает $x=4$.

Система требует, чтобы переменная $x$ одновременно была равна 3 и 4, что является противоречием и невозможно. Это означает, что система не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.