Номер 157, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 157, страница 332.

Условие.

157. a) $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > \frac{35}{12}$;

б) $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > \frac{3x^2 + \frac{4}{9}}{2\left(x - \frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x - \frac{8}{3}\right)}}$.

Решение 5.

а) Решим неравенство $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > \frac{35}{12}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x < -1$.
В этом случае $x$ — отрицательное число. Пусть $x = -z$, где $z > 1$.
Неравенство принимает вид:
$-z + \frac{-z}{\sqrt{(-z)^2 - 1}} > \frac{35}{12}$
$-z - \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}} > \frac{35}{12}$
$-\left(z + \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}\right) > \frac{35}{12}$
Поскольку $z > 1$, то $z>0$ и $\sqrt{z^2-1}>0$. Следовательно, выражение в скобках $z + \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}$ всегда положительно. Тогда левая часть неравенства всегда отрицательна. Отрицательное число не может быть больше положительного числа $\frac{35}{12}$. Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x > 1$.
В этом случае $x$ — положительное число. Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > \frac{35}{12}$.
Для начала решим уравнение $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{35}{12}$.
Можно заметить, что целочисленные или простые дробные корни подобрать сложно. Попробуем найти корни вида $a/b$. Проверим значения, которые упрощают корень $\sqrt{x^2-1}$. Например, если $x^2-1$ является полным квадратом.
Пусть $x^2 - 1 = y^2 \implies x^2 - y^2 = 1 \implies (x-y)(x+y)=1$. Это пифагоровы тройки, но для гиперболы.
Подставим $x = \frac{5}{4}$:
$\frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{(5/4)^2 - 1}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{25/16 - 1}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{9/16}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{15 + 20}{12} = \frac{35}{12}$.
Значит, $x_1 = \frac{5}{4}$ является корнем уравнения.
Подставим $x = \frac{5}{3}$:
$\frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{16/9}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{4/3} = \frac{5}{3} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 15}{12} = \frac{35}{12}$.
Значит, $x_2 = \frac{5}{3}$ также является корнем уравнения.

3. Исследуем поведение функции $f(x)$ на интервале $(1, \infty)$ с помощью производной:
$f'(x) = \left(x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)' = 1 + \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = 1 + \frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = 1 - \frac{1}{(x^2-1)^{3/2}}$.
Найдем точку экстремума: $f'(x)=0 \implies (x^2-1)^{3/2} = 1 \implies x^2-1=1 \implies x^2=2$. Так как $x>1$, то $x=\sqrt{2}$.
При $1 < x < \sqrt{2}$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x > \sqrt{2}$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x=\sqrt{2}$ является точкой минимума.
Так как $1 < 1.25 = \frac{5}{4} < \sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{2} < \frac{5}{3} \approx 1.667$, найденные корни $x_1$ и $x_2$ расположены по обе стороны от точки минимума.
Функция $f(x)$ убывает на $(1, \sqrt{2}]$ и возрастает на $[\sqrt{2}, \infty)$. График функции похож на "долину". Неравенство $f(x) > \frac{35}{12}$ будет выполняться на интервалах $(1, x_1)$ и $(x_2, \infty)$.

4. Таким образом, решение для случая $x>1$ есть объединение интервалов: $x \in (1, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (1, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$.

---

б) Решим неравенство $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > \frac{3x^2+\frac{4}{9}}{2\left(x-\frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}}$.

1. Найдем ОДЗ:
а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x\left(x-\frac{8}{3}\right) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{3}, \infty)$.
б) Знаменатель не должен быть равен нулю: $2\left(x-\frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)} \ne 0$.

2. Упростим правую часть неравенства. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: $2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.
Новый знаменатель будет равен:
$\left(2\left(x-\frac{1}{3}\right)\right)^2 - \left(\sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}\right)^2 = 4\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) - \left(x^2 - \frac{8}{3}x\right)$
$= 4x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{9} - x^2 + \frac{8}{3}x = 3x^2 + \frac{4}{9}$.
Этот результат в точности совпадает с числителем исходной дроби. Так как $3x^2 + \frac{4}{9} > 0$ при любых действительных $x$, мы можем сократить дробь.
Правая часть неравенства упрощается до:
$2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.

3. Теперь исходное неравенство принимает вид:
$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > 2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.
Раскроем скобки и преобразуем:
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{25}{9} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{24}{9} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$.
Изолируем радикал в одной части неравенства:
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > (2x - \frac{2}{3}) - (x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3})$
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > 2x - \frac{2}{3} - x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > -x^2 + \frac{8}{3}x + 2$.

4. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - \frac{8}{3}x$. Тогда $-t = -x^2 + \frac{8}{3}x$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{t} > -t + 2$.
По ОДЗ, $t \ge 0$. Решим это неравенство для $t$:
Случай 1: правая часть отрицательна: $2-t < 0 \implies t > 2$. Неравенство $\sqrt{t} > (\text{отрицательное число})$ верно для всех $t$ из этого случая.
Случай 2: правая часть неотрицательна: $2-t \ge 0 \implies t \le 2$. Можно возвести обе части в квадрат:
$t > (2-t)^2 \implies t > 4 - 4t + t^2 \implies t^2 - 5t + 4 < 0$.
Корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1=1, t_2=4$. Решением неравенства является $1 < t < 4$.
Пересекая с условием случая ($t \le 2$), получаем $1 < t \le 2$.
Объединяя решения обоих случаев ($t > 2$ и $1 < t \le 2$), получаем общее решение для $t$: $t > 1$.

5. Возвращаемся к переменной $x$:
$x^2 - \frac{8}{3}x > 1 \implies x^2 - \frac{8}{3}x - 1 > 0$.
Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей: $3x^2 - 8x - 3 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 8x - 3 = 0$:
$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64+36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.
Корни: $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $3x^2 - 8x - 3 > 0$ есть $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$.

6. Наконец, пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{3}, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$ и $(-\infty, 0] \cup [8/3, \infty)$ дает:
$(-\infty, -1/3) \cap (-\infty, 0] = (-\infty, -1/3)$.
$(3, \infty) \cap [8/3, \infty) = (3, \infty)$ (поскольку $3 > 8/3$).
Итоговое решение — объединение этих интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$.